题目内容
小波以游戏方式决定参加学校合唱团还是参加学校排球队.游戏规则为:以O为起点,再从
(如图)这8个点中任取两点分别为终点得到两个向量,记这两个向量的数量积为
.若
就参加学校合唱团,否则就参加学校排球队.
（I）求小波参加学校合唱团的概率；
（II）求的分布列和数学期望.
（I）小波参加学校合唱团的概率为
.
（II）
的分布列为: 
.
解析试题分析：（I）观察图形，确定从8个点中任意取两点为向量终点的方法数；
计算
时,两向量夹角为直角的情况数；
应用古典概型概率的计算公式计算“小波参加学校合唱团的概率”.
（II）注意到两向量数量积的所有可能取值为
分别计算相应概率，写出的分布列.关键是计算概率要准确.
利用数学期望计算公式得到
.
本题难度不大，突出了对古典概型概率的计算方法，以及数学期望的计算公式等所学知识的考查.
试题解析：（I）从8个点中任意取两点为向量终点的不同取法共有
种,时,两向量夹角为直角共有8种情形;所以小波参加学校合唱团的概率为. 4分
（II）两向量数量积的所有可能取值为
当时，
当
时,有2种情形
当
时,有8种情形
当
时,有10种情形
. 8分
所以的分布列为:
10分 
. 12分
考点：古典概型概率的计算，离散性随机变量的分布列、期望.
，求随机变量
用x、y、z表示甲胜的概率；某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示．
| 一次购物量 | 1至4件 | 5至8件 | 9至12件 | 13至16件 | 17件及以上 |
| 顾客数（人） | x | 30 | 25 | y | 10 |
| 结算时间（分钟/人） | 1 | 1.5 | 2 | 2.5 | 3 |
（Ⅰ）确定x，y的值，并求顾客一次购物的结算时间X的分布列与数学期望；
（Ⅱ）若某顾客到达收银台时前面恰有2位顾客需结算，且各顾客的结算相互独立，求该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率．
（注：将频率视为概率）
气象部门提供了某地今年六月份（30天）的日最高气温的统计表如下：
| 日最高气温t (单位：℃) | t 22℃ | 22℃<t28℃ | 28℃<t32℃ |  ℃ |
| 天数 | 6 | 12 |  |  |
某水果商根据多年的销售经验，六月份的日最高气温t (单位：℃)对西瓜的销售影响如下表：
| 日最高气温t (单位：℃) | t22℃ | 22℃<t28℃ | 28℃<t32℃ | ℃ |
日销售额 （千元） | 2 | 5 | 6 | 8 |
， 的值；(Ⅱ) 若视频率为概率，求六月份西瓜日销售额的期望和方差；
(Ⅲ) 在日最高气温不高于32℃时，求日销售额不低于5千元的概率．
生产A，B两种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为正品，小于82为次品．现随机抽取这两种元件各100件进行检测，检测结果统计如下：
| 测试指标 | [70，76） | [76，82） | [82，88） | [88，94） | [94，100] |
| 元件A | 8 | 12 | 40 | 32 | 8 |
| 元件B | 7 | 18 | 40 | 29 | 6 |
（Ⅱ）生产一件元件A，若是正品可盈利40元，若是次品则亏损5元；生产一件元件B，若是正品可盈利50元，若是次品则亏损10元．在（Ⅰ）的前提下，
（ⅰ）记X为生产1件元件A和1件元件B所得的总利润，求随机变量X的分布列和数学期望；
（ⅱ）求生产5件元件B所获得的利润不少于140元的概率．
．
的分布列和数学期望.为了解甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽取12件和5件，测量产品中微量元素x，y的含量（单位：毫克）.下表是乙厂的5件产品的测量数据：
| 编号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| x | 169 | 178 | 166 | 175 | 180 |
| y | 75 | 80 | 77 | 76 | 81 |
（2）当产品中的微量元素x，y满足x≥175且y≥75，该产品为优等品，
①用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量；
②从乙厂抽出的上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产品中优等品数
的分布列及其期望．