Question

某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示．

一次购物量	1至4件	5至8件	9至12件	13至16件	17件及以上
顾客数（人）	x	30	25	y	10
结算时间（分钟/人）	1	1.5	2	2.5	3

已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%．
（Ⅰ）确定x，y的值，并求顾客一次购物的结算时间X的分布列与数学期望；
（Ⅱ）若某顾客到达收银台时前面恰有2位顾客需结算，且各顾客的结算相互独立，求该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率．
（注：将频率视为概率）

Answer 1

（Ⅰ）x＝15，y＝20．

X	1	1.5	2	2.5	3
P

E(X)＝1.9；（Ⅱ）

解析试题分析：（Ⅰ）根据总人数有100人，则，由100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%，则知．根据这两式得x＝15，y＝20，由表格可得X的可以取值为：1,1.5,2,2.5,3；该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本，将频率视为概率，即可得到分布列与期望.
（Ⅱ）由于该客到达收银台时前面恰有2位顾客需结算，则该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的情况为（1、1），（1、1.5），（1.5、1）三种情况，则按照各顾客的结算相互独立，有
P(A)＝P(X₁＝1)×P(X₂＝1)＋P(X₁＝1)×P(X₂＝1.5)＋P(X₁＝1.5)×P(X₂＝1)
＝×＋×＋×＝．
试题解析：（Ⅰ）由已知，得25＋y＋10＝55，x＋30＝45，所以x＝15，y＝20．
该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本，将频率视为概率得
P(X＝1)＝＝，P(X＝1.5)＝＝，P(X＝2)＝＝，
P(X＝2.5)＝＝，P(X＝3)＝＝．
X的分布列为

X	1	1.5	2	2.5	3
P

X的数学期望为
E(X)＝1×＋1.5×＋2×＋2.5×＋3×＝1.9．
（Ⅱ）记A为事件“该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟”，X_i（i＝1，2）为该顾客前面第i位顾客的结算时间，则
P(A)＝P(X₁＝1且X₂＝1)＋P(X₁＝1且X₂＝1.5)＋P(X₁＝1.5且X₂＝1)．
由于各顾客的结算相互独立，且X₁，X₂的分布列都与X的分布列相同，所以
P(A)＝P(X₁＝1)×P(X₂＝1)＋P(X₁＝1)×P(X₂＝1.5)＋P(X₁＝1.5)×P(X₂＝1)
＝×＋×＋×＝．
故该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率为．
考点：1.离散型随机变量的分布列与数学期望;2.以及相互独立事件的概率的求法.