[题目]设函数的解析式满足．(1)求函数的解析式,(2)若在区间(1.+∞)单调递增.求的取值范围(只需写出范围.不用说明理由).(3)当时.记函数.求函数g(x)在区间上的值域．题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

【题目】设函数的解析式满足．

（1）求函数的解析式；

（2）若在区间（1，+∞）单调递增，求的取值范围（只需写出范围，不用说明理由）。

（3）当时，记函数，求函数g（x）在区间上的值域．

【答案】（1）（2）（3）

【解析】

（1）根据整体思想x+1＝t（t≠0），则x＝t﹣1，代入即可得到答案；（2）利用单调性定义即可作出判断（利用对勾函数的图象亦可）;（3）根据题意判断出函数g（x）的奇偶性，根据（2）中函数的单调性，即可求出函数g（x）在区间上的值域．

解：（1）设x+1=t（t≠0），则x=t﹣1，

∴∴

（2）

（3）∵，

∴g（x）为偶函数，

∴y=g（x）的图象关于y轴对称，

又当时，由（2）知在单调递减，在单调递增，

∴

∴当a=1时，函数g（x）在区间上的值域的为

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【试题解析】

（Ⅰ），

设，则.

∵，，∴在上单调递增，

从而得在上单调递增，又∵，

∴当时，，当时，，

因此，的单调增区间为，单调减区间为.

（Ⅱ）由（Ⅰ）得在上单调递减，在上单调递增，

由此可知.

∵，，

∴.

设，

则 .

∵当时，，∴在上单调递增.

又∵，∴当时，；当时， .

①当时，，即，这时，；

②当时，，即，这时， .

综上，在上的最大值为：当时，；

当时， .

[点睛]本小题主要考查函数的单调性,考查利用导数求最大值. 与函数零点有关的参数范围问题，往往利用导数研究函数的单调区间和极值点，并结合特殊点，从而判断函数的大致图像，讨论其图象与轴的位置关系，进而确定参数的取值范围；或通过对方程等价变形转化为两个函数图象的交点问题．

【题型】解答题
【结束】
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