Question

16．设函数f（x）在x=0处连续．下列结论不正确的是（　　）

• A． 若$\underset{lim}{x→0}$$\frac{f（x）+f（-x）}{x}$存在，则f′（0）存在
• B． 若$\underset{lim}{x→0}$$\frac{f（x）+f（-x）}{x}$存在，则f（0）=0
• C． 若$\underset{lim}{x→0}$$\frac{f（x）}{x}$存在，则f（0）=0
• D． 若$\underset{lim}{x→0}$$\frac{f（x）}{x}$存在，则f′（0）存在

Answer 1

分析 令f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-3x，x＞0}\\{x，x≤0}\end{array}\right.$，从而可得．

解答 解：令f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-3x，x＞0}\\{x，x≤0}\end{array}\right.$，
此时$\underset{lim}{x→0}$$\frac{f（x）+f（-x）}{x}$存在，但f′（0）不存在，
故A不正确；
∵$\underset{lim}{x→0}$$\frac{f（x）+f（-x）}{x}$存在，
∴$\underset{lim}{x→0}$f（x）+f（-x）=0，
又∵函数f（x）在x=0处连续，
∴f（0）=0，故B正确；
∵$\underset{lim}{x→0}$$\frac{f（x）}{x}$存在，
∴$\underset{lim}{x→0}$f（x）=0，
又∵函数f（x）在x=0处连续，
∴f（0）=0，故C正确；
∵$\underset{lim}{x→0}$$\frac{f（x）}{x}$存在，又∵f（0）=0，
∴$\underset{lim}{x→0}$$\frac{f（x）-f（0）}{x-0}$存在，
故f′（0）存在．
故选：A．

点评 本题考查了分段函数的应用及函数的连续性的判断与应用．