题目内容
【题目】如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD= 
AD． 
（1）求证：平面PAB⊥平面PDC
（2）在线段AB上是否存在一点G，使得二面角C﹣PD﹣G的余弦值为 
．若存在，求 
的值；若不存在，说明理由．
【答案】
（1）证明：∵AD=2，∴ 
，
∴PA2+PD2=AD2∴PD⊥AP，
又∵平面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴AB⊥平面PAD，又PD平面PAD，∴AB⊥PD，
又∵AP∩AP=A，且AP、AB平面PAB，
∴PD⊥平面PAB，
又PD平面PDC，∴平面PAB⊥平面PDC
（2）解：如图，取AD的中点O，连接OP，OF，
∵PA=PD，∴PO⊥AD．
又侧面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴PO⊥平面ABCD，
而O，F分别为AD，BD的中点，∴OF∥AB，
又ABCD是正方形，∴OF⊥AD，
以O为原点，射线OA，OF，OP为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系O﹣xyz，
则有A（1，0，0），C（﹣1，2，0），F（0，1，0），D（﹣1，0，0），P（0，0，1），
若在AB上存在点G，使得二面角C﹣PD﹣G的余弦值为 
，连接PG、DG，
设G（1，a，0）（0≤a≤2），
则 
=（1，0，1）， 
=（﹣2，﹣a，0），
由（2）知平面PDC的一个法向量为 
=（1，0，﹣1），
设平面PGD的法向量为 
=（x，y，z）．
则 
，即 
，．
令y=﹣2，得 =（a，﹣2，﹣a），
∴|cos＜ ， ＞|= 
= ，解得a= 
，
∴a= ，此时 
，
∴在线段AB上存在点G（1， ，0）使得二面角C﹣PD﹣G的余弦值为 ， ．
【解析】（1）推导出PD⊥AP，AB⊥PD，由此能证明平面PAB⊥平面PDC．（2）取AD的中点O，连接OP，OF，PO⊥AD，以O为原点，射线OA，OF，OP为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系O﹣xyz，由此利用向量法能求出在线段AB上存在点G（1， ，0）使得二面角C﹣PD﹣G的余弦值为 ， ．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用平面与平面垂直的判定的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．
