题目内容
【题目】已知抛物线
的焦点为
，准线为
，抛物线
上存在一点
，过点作
，垂足为
，使
是等边三角形且面积为
.
（1）求抛物线的方程；
（2）若点
是圆
与抛物线的一个交点，点
，当
取得最小值时，求此时圆
的方程.
【答案】（1）
（2）
【解析】
（1）利用等边三角形可得
值，从而得到抛物线
的方程；
（2）设
的坐标为
，易得
，所以
，结合最值即可得到圆
的方程.
解：（1）如图所示，
∵等边
的面积为
，
设边长为
，
∴
，∴
，∴
∵
，∴
所以抛物线的方程是.
（2）法一：设的坐标为，因为抛物线：的焦点
，
，
，
所以
当且仅当
时取等号，即当
取最小值时，点坐标为
把点坐标代入圆的方程可得.
法二：设的坐标为
，因为抛物线：的焦点，
，
，
所以
，当且仅当
时取等号，
即当取最小值时，点坐标为
把点坐标代入圆的方程可得.
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