题目内容
【题目】甲乙两人参加竞选，结果是甲得
票，乙得
票
. 试求：唱票中甲累计的票数始终超过乙累计的票数的概率.
【答案】
【解析】
若唱甲当选，则记为1；若唱乙当选，则记为
. 每一种唱票方式都对应一个由
个1和
个组成的排列. 用
表示谴责
项的和，在直角坐标系中标出点
，并将点与点
用线段联结
. 这样，每一种唱票方式都对应一条联结
与
的折线. 而甲累计的票数始终领先等价于所有的点都在
轴的上方，即折线与轴无交点（我们称为“好折线”，反之为“坏折线”）.
显然，联结
、
的“自由”（无限定条件）折线有
条，这是因为在
段中选择段为上升有种方法.
对每一条坏折线，有如下两种情形：一是经过点
，二是经过点
.
对于第一种情形，坏折线是由
到的自由折线，从而，这样的折线有
条.
对于第二种情形，注意到过的坏折线必与轴相交，设其横坐标最小的交点为
. 将此折线位于左边的部分作关于轴的对称折线，便得到过点的坏折线，于是，坏折线的条数也有条. 所以，合乎条件的好折线的条数为
.
综上所述，所求的概率为
.
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列联表：
优秀 | 非优秀 | 总计 | |
男生 |
| 35 | 50 |
女生 | 30 |
| 70 |
总计 | 45 | 75 | 120 |
（1）确定
，
的值；
（2）试判断能否有90%的把握认为VR知识测试成绩优秀与否与性别有关；
附：
| 0.25 | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 |
| 1.323 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |
