题目内容
【题目】已知三棱柱中,
,
,
,
.
求证:面
面
;
若
,在线段
上是否存在一点
,使二面角
的平面角的余弦值为
?若存在,确定点
的位置;若不存在,说明理由
【答案】(1)见解析;(2)见解析
【解析】
由
,可得四边形
为菱形,则
,又
,利用线面垂直的判定可得
平面
,得到
,结合
,即可证明
平面
,从而可证明面
面
;
以C为坐标原点,分别以CA,CB所在直线为x,y轴建立空间直角坐标系,设在线段AC上存在一点P,满足
,使得二面角
的余弦值为
,利用二面角
的余弦值为
,可求得
的值,从而得到答案。
证明:如图,
,
四边形
为菱形,
连接,则
,又
,且
,
平面
,则
,
又,即
,
平面
,
而平面
,
面
面
;
解:以C为坐标原点,分别以CA,CB所在直线为x,y轴建立如图所示的空间直角坐标系,
,
,
,
0,
,
2,
,
0,
,
0,
设在线段上存在一点
,满足
,使得二面角
的余弦值为
.
则.
0,
,
,
,
,
.
设平面的一个法向量为
,
由,取
,得
;
平面的一个法向量为
.
由,
解得:,或
,
因为,所以
.
故在线段上存在一点
,满足
,使二面角
的余弦值为
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
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