Question

【题目】已知焦点在x轴上且长轴长为4的椭圆C过点T（1，1），记l为圆O：x2+y2=1的切线

（1）求椭圆C的方程；

（2）若l与椭圆C交于A、B两点，求证：∠AOB为定值．

Answer 1

【答案】（1）=1．（2）见解析．

【解析】

（1）利用长轴长和椭圆上的点，构造方程求解出椭圆方程；（2）当直线斜率不存在时，求得坐标，可求得；当直线斜率存在时，将直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理表示出，整理化简可得，可得；从而可知为定值.

（1）焦点在轴上且长轴长为的椭圆过点

设椭圆方程为

则，解得，

椭圆的方程为

（2）证明：为圆的切线

当的斜率不存在时，的方程为

又与椭圆交于两点

则，或，

，或，

当直线存在斜率时，设的方程为：

则，即

联立，得

由题意，设，

则，

综上可知，为定值