题目内容
【题目】已知函数.
(Ⅰ)讨论的单调性;
(Ⅱ)若有两个零点,求
的取值范围.
【答案】(Ⅰ)见解析;(Ⅱ).
【解析】
试题分析:(Ⅰ)先求得再根据1,0,2a的大小进行分类确定
的单调性;(Ⅱ)借助第(Ⅰ)问的结论,通过分类讨论函数的单调性,确定零点个数,从而可得a的取值范围为
.
试题解析:(Ⅰ)
(Ⅰ)设,则当
时,
;当
时,
.
所以f(x)在单调递减,在
单调递增.
(Ⅱ)设,由
得x=1或x=ln(-2a).
①若,则
,所以
在
单调递增.
②若,则ln(-2a)<1,故当
时,
;
当时,
,所以
在
单调递增,在
单调递减.
③若,则
,故当
时,
,当
时,
,所以
在
单调递增,在
单调递减.
(Ⅱ)(Ⅰ)设,则由(Ⅰ)知,
在
单调递减,在
单调递增.
又,取b满足b<0且
,
则,所以
有两个零点.
(Ⅱ)设a=0,则,所以
只有一个零点.
(iii)设a<0,若,则由(Ⅰ)知,
在
单调递增.
又当时,
<0,故
不存在两个零点;若
,则由(Ⅰ)知,
在
单调递减,在
单调递增.又当
时
<0,故
不存在两个零点.
综上,a的取值范围为.
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