题目内容
【题目】如图,已知三棱锥的三条侧棱
,
,
两两垂直,
为等边三角形,
为
内部一点,点
在
的延长线上,且
.
(Ⅰ)证明: ;
(Ⅱ)证明: ;
(Ⅲ)若,求二面角
的余弦值.
【答案】(Ⅰ)证明见解析;(Ⅱ)证明见解析;(Ⅲ) .
【解析】试题分析:(Ⅰ)由已知条件利用勾股定理得,
,得进行证明;(Ⅱ)取
的中点
,连接
、
,通过证明
平面
来证得结论;(Ⅲ)以
、
、
所在的直线分别为
、
、
轴建立空间直角坐标系,求出平面
的一个法向量与平面
的一个法向量的夹角的余弦值,结合图形即可得结论.
试题解析:(Ⅰ)因为,
,
两两垂直,
所以,
又△为等边三角形,
所以
,故
(Ⅱ)取的中点
,连接
、
因为,
,所以
,所以
平面
所以
(Ⅲ)如图建立空间坐标系
因为,可设
,则
由(Ⅰ)同理可得
因为,
所以
所以设
(
)
所以,所以
平面的法向量为
设平面的法向量为
则
取则
所以
,
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