题目内容
【题目】设集合,是正数,且.试求交集的元素个数的最大可能值.
【答案】见解析
【解析】
不妨设,且和都是正整数(),但等比数列,,,…,的各项不一定都是整数,则有
.
显然,(表示集合的元素个数).下面对公比分别为有理数和无理数进行讨论.
(1)设(与互素,且)下面再对分三种情况进行讨论.
当时,由知.由得,,从而,.
当时,由知.由得,,从而.
另一方面,确实存在公比为的6项等比数列:
128,192,288,432,648,972.(如何构造的?)
当时,,.因为与互素,所以,从而.由此即得,,.
故当为有理数时,的最大可能值是6.
(2)设为无理数.由为有理数知为有理数,所以存在最小的正整数,使为有理数(显然).设被除所得余数为,即(和为非负整数,且).由知为有理数,再由的最小性知只能有,即.
记,则由上可知在中,只须用来代替(因为中其他的项为无理数),是公比为有理数,首项为,末项为的等比数列,这就化归为公比为有理数的情况(1)了.
综合上述即知:的最大可能值是6.
注:本题是根据加拿大第四届(1972年)奥林匹克试题第10题改编的.原题为:在公比大于1的等比数列中,最多有几项是在100和1000之间的整数?这是一个佳题.在[1]和别的资料的解答中,都事先假定了等比数列的各项都为整数,其实这样是不严密的(尽管答案是对的),这里给出的解答试图纠正这一不妥之处.