题目内容

【题目】设集合是正数,且.试求交集的元素个数的最大可能值.

【答案】见解析

【解析】

不妨设,且都是正整数(),但等比数列,…,的各项不一定都是整数,则有

.

显然,表示集合的元素个数).下面对公比分别为有理数和无理数进行讨论.

(1)设互素,且)下面再对分三种情况进行讨论.

时,由.由,从而,.

时,由.由,从而.

另一方面,确实存在公比为的6项等比数列:

128,192,288,432,648,972.(如何构造的?)

时,.因为互素,所以,从而.由此即得.

故当为有理数时,的最大可能值是6.

(2)设为无理数.由为有理数知为有理数,所以存在最小的正整数,使为有理数(显然).设除所得余数为,即为非负整数,且).由为有理数,再由的最小性知只能有,即.

,则由上可知中,只须用来代替(因为中其他的项为无理数),是公比为有理数,首项为,末项为的等比数列,这就化归为公比为有理数的情况(1)了.

综合上述即知:的最大可能值是6.

注:本题是根据加拿大第四届(1972年)奥林匹克试题第10题改编的.原题为:在公比大于1的等比数列中,最多有几项是在100和1000之间的整数?这是一个佳题.在[1]和别的资料的解答中,都事先假定了等比数列的各项都为整数,其实这样是不严密的(尽管答案是对的),这里给出的解答试图纠正这一不妥之处.

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