题目内容
【题目】设集合,
是正数,且
.试求交集
的元素个数的最大可能值.
【答案】见解析
【解析】
不妨设,且
和
都是正整数(
),但等比数列
,
,
,…,
的各项不一定都是整数,则有
.
显然,(
表示集合
的元素个数).下面对公比
分别为有理数和无理数进行讨论.
(1)设(
与
互素,且
)下面再对
分三种情况进行讨论.
当时,由
知
.由
得
,
,从而,
.
当时,由
知
.由
得
,
,从而
.
另一方面,确实存在公比为的6项等比数列:
128,192,288,432,648,972.(如何构造的?)
当时,
,
.因为
与
互素,所以
,从而
.由此即得
,
,
.
故当为有理数时,
的最大可能值是6.
(2)设为无理数.由
为有理数知
为有理数,所以存在最小的正整数
,使
为有理数(显然
).设
被
除所得余数为
,即
(
和
为非负整数,且
).由
知
为有理数,再由
的最小性知只能有
,即
.
记,则由上可知
在
中,只须用
来代替
(因为
中其他的项为无理数),
是公比为有理数
,首项为
,末项为
的等比数列,这就化归为公比为有理数的情况(1)了.
综合上述即知:的最大可能值是6.
注:本题是根据加拿大第四届(1972年)奥林匹克试题第10题改编的.原题为:在公比大于1的等比数列中,最多有几项是在100和1000之间的整数?这是一个佳题.在[1]和别的资料的解答中,都事先假定了等比数列的各项都为整数,其实这样是不严密的(尽管答案是对的),这里给出的解答试图纠正这一不妥之处.
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