题目内容
【题目】如果函数在定义域内存在区间
,使得该函数在区间
上的值域为
,则称函数
是该定义域上的“和谐函数”.
(1)判断函数是不是“和谐函数”,并说明理由;
(2)若函数是“和谐函数”,求实数
的取值范围.
【答案】(1)是“和谐函数”,见解析(2)
【解析】
(1)根据题目所给的定义构造函数,再验证特殊值即可判定函数
是
上的“和谐函数”.
(2)将题意转化为在
上至少有两个不相等的实数根,再求解即可.
解:(1)函数的定义域为
,
且在上单调递增;
研究函数,
;
因为,
取,则
,即
,
,取
,
则,即
,
因为在
上单调递增,
所以在区间
上的值域为
,即为
.
所以函数是
上的“和谐函数”.
(2)因为在
单调递增,
因为函数是“和谐函数”,
所以存在,使得函数在区间
上的值域为
.
即,
.
因此,即
在
上至少有两个不相等的实数根.
令,
,方程可化为
;
即在
上至少有两个不相等的非负实数根;
记,
的对称轴为直线
;
所以;
解得,即t的取值范围为
.
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