题目内容
【题目】已知
的三顶点坐标分别为
，
，
．
（1）求的外接圆圆M的方程；
（2）已知动点P在直线
上，过点P作圆M的两条切线PE,PF，切点分别为E,F.
①记四边形PEMF的面积分别为S，求S的最小值；
②证明直线EF恒过定点.
【答案】(1) 
(2) ①4；②定点
，证明见解析
【解析】
（1）设圆M的方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2（r＞0），分别代入A，B，C三点，解方程可得a，b，r，可得所求圆M的方程；
（2）①由三角形的面积公式可得S＝|PE||EM|＝2|PE|，结合勾股定理和点到直线的距离公式，可得所求最小值；
②判断四点P，E，M，F共圆，求得以PM为直径的圆的方程和圆M方程，相减可得直线EF的方程，再由直线恒过定点的求法，可得所求定点．
（1）设
的外接圆圆M的标准方程为
，根据题意有
故所求的圆M的方程为
（2）①
，故当
最小时，S最小．
的最小值即为点
到直线
的距离
故
②由圆的切线性质有
，则
，
，
，
，
四点共圆，该圆是以PM为直径的圆，设圆心为点N．点P是直线上一动点，设
，则圆N的方程为
由
消去
，
得直线EF的方程为
即
，令
得
故直线EF恒过定点.
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