Question

【题目】函数f（x）= 为R的单调函数，则实数a的取值范围是（ ）
A.（0，+∞）
B.[﹣1，0）
C.（﹣2，0）
D.（﹣∞，﹣2）

Answer 1

【答案】B
【解析】解：f′（x）= ；
（1）若a＞0，x≥0时，f′（x）≥0，即函数f（x）在[0，+∞）上单调递增，且ax2+1≥1；要使f（x）在R上为单调函数，则x＜0时，a（a+2）＞0，
∵a＞0，∴解得a＞0，并且（a+2）eax＜a+2，
∴a+2≤1，解得a≤﹣1，不符合a＞0，
∴这种情况不存在；
（2）若a＜0，x≥0时，f′（x）≤0，即函数f（x）在[0，+∞）上单调递减，且ax2+1≤1；要使f（x）在R上为单调函数，则x＜0时，a（a+2）＜0，解得﹣2＜a＜0，并且（a+2）eax＞a+2，
∴a+2≥1，解得a≥﹣1，∴﹣1≤a＜0；
综上得a的取值范围为[﹣1，0）．
故选：B．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用函数单调性的判断方法的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握单调性的判定法：①设x1,x2是所研究区间内任两个自变量，且x1＜x2；②判定f(x1)与f(x2)的大小；③作差比较或作商比较．