题目内容
【题目】已知,
为抛物线
上的两个不重合的动点,且
,
满足
,
.
(1)证明:线段的垂直平分线经过定点;
(2)若线段的垂直平分线与
轴交于点
,求
面积的最大值.
【答案】(1)见解析;(2).
【解析】
(1)设线段的中点为
,可直接算得
,再用
表示
,列出线段
的垂直平分线的方程,再找到此方程经过的定点;(2)联立方程组,根据判别式判断参数的取值范围,再列出
的关系式,再根据函数单调性求出
面积的最大值。
解:(1)设线段的中点为
,由题意,
,
则,
,
因为.
所以线段的垂直平分线的方程是
,
即.
所以线段的垂直平分线经过定点
.
(2)直线和抛物线方程联立得
,
,
解得.
由题意可得.
,
定点到线段
的距离
,
所以,
令,
.
,
所以函数在
上单调递增,在区间
上单调递减,
所以在
上的最大值为
.
综上,.
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