题目内容

如图1,四棱锥中,底面,面是直角梯形,为侧棱上一点.该四棱锥的俯视图和侧(左)视图如图2所示.   
(Ⅰ)证明:平面
(Ⅱ)证明:∥平面
(Ⅲ)线段上是否存在点,使所成角的余弦值为?若存在,找到所有符合要求的点,并求的长;若不存在,说明理由.

(I)详见解析;(II)详见解析;(III)点位于点处,此时;或中点处,此时.

解析试题分析:(I)建立空间直角坐标系,写出点的坐标,线和面内两相交直线垂直,则线垂直面;(II)线与面内一直线平行,则线面平行;(III)利用数量积公式可得两直线夹角余弦.
试题解析:【方法一】
(Ⅰ)证明:由俯视图可得,

所以.          1分
又因为 平面
所以 ,         3分
所以 平面.                                         4分
(Ⅱ)证明:取上一点,使,连结.       5分
由左视图知 ,所以 .      6分
在△中,易得,所以 .又 , 所以
又因为 ,所以
所以四边形为平行四边形,所以 .               8分
因为 平面平面
所以 直线∥平面.                                     9分
(Ⅲ)解:线段上存在点,使所成角的余弦值为.证明如下:10分
因为 平面,建立如图所示的空间直角坐标系
所以
,其中.                                    11分
所以
要使所成角的余弦值为,则有 ,   12分
所以 ,解得 ,均适合.  13分
故点位于

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