题目内容
如图1,四棱锥中,底面,面是直角梯形,为侧棱上一点.该四棱锥的俯视图和侧(左)视图如图2所示.
(Ⅰ)证明:平面;
(Ⅱ)证明:∥平面;
(Ⅲ)线段上是否存在点,使与所成角的余弦值为?若存在,找到所有符合要求的点,并求的长;若不存在,说明理由.
(I)详见解析;(II)详见解析;(III)点位于点处,此时;或中点处,此时.
解析试题分析:(I)建立空间直角坐标系,写出点的坐标,线和面内两相交直线垂直,则线垂直面;(II)线与面内一直线平行,则线面平行;(III)利用数量积公式可得两直线夹角余弦.
试题解析:【方法一】
(Ⅰ)证明:由俯视图可得,,
所以. 1分
又因为 平面,
所以 , 3分
所以 平面. 4分
(Ⅱ)证明:取上一点,使,连结,. 5分
由左视图知 ,所以 ∥,. 6分
在△中,易得,所以 .又 , 所以, .
又因为 ∥,,所以 ∥,.
所以四边形为平行四边形,所以 ∥. 8分
因为 平面,平面,
所以 直线∥平面. 9分
(Ⅲ)解:线段上存在点,使与所成角的余弦值为.证明如下:10分
因为 平面,,建立如图所示的空间直角坐标系.
所以 .
设 ,其中. 11分
所以,.
要使与所成角的余弦值为,则有 , 12分
所以 ,解得 或,均适合. 13分
故点位于
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