题目内容
如图,在长方体中,已知上下两底面为正方形,且边长均为1;侧棱
,
为
中点,
为
中点,
为
上一个动点.
(Ⅰ)确定点的位置,使得
;
(Ⅱ)当时,求二面角
的平面角余弦值.
(Ⅰ)为
的四等分点;(Ⅱ)
.
解析试题分析:(Ⅰ)用向量法的解题步骤是建立恰当的空间直角坐标系,写出相应的点的坐标及向量的坐标,利用向量的数量积为0,则这两个向量垂直,得出结论;(Ⅱ)二面角的问题,找到两个平面的法向量的夹角,利用向量的夹角公式求解.
试题解析:方法一:
(Ⅰ)如图,分别以所在直线为
轴建立空间直角坐标系
,则
易得 2分
由题意得,设
又
则由得
,
∴,得
为
的四等分点. 6分
(Ⅱ)易知平面的一个法向量为
,设平面
的法向量为
则,得
,取
,得
, 10分
∴,∴二面角
的平面角余弦值为
.12分
方法二:
(Ⅰ)∵在平面
内的射影为
,且四边形
为正方形,
为中点, ∴
同理,在平面
内的射影为
,则
由△~△
, ∴
,得
为
的四等分点. 6分
(Ⅱ)∵平面
,过
点作
,垂足为
;
连结,则
为二面角
的平面角; 8分
由,得
,解得
∴在中,
,
∴;∴二面角
的平面角余弦值为
. 12分
考点:线面垂直的判定定理,二面角,线面成角的计算.

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