题目内容
17．在△ABC，a=2，（2+b）（sinA-sinB）=（c-b）sinC，求△ABC的面积的最大值为$\sqrt{3}$．分析 已知等式利用正弦定理化简，把a=2代入整理得到关系式，利用余弦定理表示出cosA，将得出关系式代入求出cosA的值，进而确定出sinA的值，再利用基本不等式求出bc的最大值，即可确定出面积的最大值．
解答 解：把（2+b）（sinA-sinB）=（c-b）sinC，
利用正弦定理化简得：（2+b）（a-b）=c（c-b），
把a=2代入得：a2-b2=c2-bc，即b2+c2-a2=bc，
∴cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{1}{2}$，
∴sinA=$\sqrt{1-co{s}^{2}A}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵b2+c2=a2+bc=4+bc≥2bc，即bc≤4，
∴S△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{\sqrt{3}}{4}$bc≤$\frac{\sqrt{3}}{4}$×4=$\sqrt{3}$，
则△ABC的面积的最大值为$\sqrt{3}$．
故答案为：$\sqrt{3}$．
点评 此题考查了正弦、余弦定理，以及三角形面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．
练习册系列答案
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2．
某转弯路段为四分之一圆环，圆环道路外侧均匀栽种了10棵树（如图所示），小李在半径OA的延长线上一点C处观察到第四棵树（P点），第七棵树（Q点）与点C在同一条直线上，并测得AC=100米，则此弧形道路的大圆半径OA的长为（ ）
某转弯路段为四分之一圆环，圆环道路外侧均匀栽种了10棵树（如图所示），小李在半径OA的延长线上一点C处观察到第四棵树（P点），第七棵树（Q点）与点C在同一条直线上，并测得AC=100米，则此弧形道路的大圆半径OA的长为（ ）| A． | 100$\sqrt{3}$米 | B． | 100（$\sqrt{3}$+1）米 | C． | 200米 | D． | 100（$\sqrt{3}$+$\sqrt{2}$）米 |