Question

【题目】如图，在多面体中，平面⊥平面，，，DE AC，AD=BD=1.

(Ⅰ)求AB的长；

(Ⅱ)已知，求点E到平面BCD的距离的最大值.

Answer 1

【答案】(1);(2).

【解析】分析：(Ⅰ) 先由面面垂直的性质可得平面，平面，可得，再证明平面，于是得，由勾股定理可得结果；(Ⅱ)过作直线，以点为坐标原点，直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示. 记，求出平面的一个法向量，利用点到平面的距离，结合，可得点到平面的距离的最大值.

详解：(Ⅰ)∵平面ABD⊥平面ABC，且交线为AB，而AC⊥AB，∴AC⊥平面ABD.

又∵DE∥AC，∴DE⊥平面ABD，从而DE⊥BD.

注意到BD⊥AE，且DE∩AE=E，∴BD⊥平面ADE，于是，BD⊥AD.

而AD=BD=1，∴.

(Ⅱ)∵AD=BD，取AB的中点为O，∴DO⊥AB.

又∵平面ABD⊥平面ABC，∴DO⊥平面ABC.

过O作直线OY∥AC，以点O为坐标原点，直线OB，OY，OD分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示.

记，则，，

，，，.

令平面BCD的一个法向量为.

由得.令，得.

又∵，∴点E到平面BCD的距离.

∵，∴当时，取得最大值，.