题目内容

(本小题满分14分)
将数列中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表

 
   
     
………………………
记表中的第一列数构成的数列为为数列的前项和,且满足
(1)证明:
(2)求数列的通项公式;
(3)上表中,若从第三行起,每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列,且公比为同一个正数.当时,求上表中第行所有项的和.
(1)证明:由已知,当时,
所以,  即,     -----------2分
所以 .                                             ------------3分
(2)又.                                            ------------4分
由(1)可知,数列是首项为1,公差为的等差数列.            ------------5分
所以
.                                                     ------------6分
所以当时,.                -----------7分
因此                                        -------------8分
(3)解:设上表中从第三行起,每行的公比都为,且
因为,                                 ------------9分
所以表中第1行至第13行共含有数列的前91项,
在表中第14行第三列,                                         ------------10分
因此.                                           ------------11分

所以.                                                        ------------12分
记表中第行所有项的和为
.          -----------14分
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