题目内容
(本小题满分14分)
将数列中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表:
………………………
记表中的第一列数构成的数列为,.为数列的前项和,且满足.
(1)证明:;
(2)求数列的通项公式;
(3)上表中,若从第三行起,每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列,且公比为同一个正数.当时,求上表中第行所有项的和.
将数列中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表:
………………………
记表中的第一列数构成的数列为,.为数列的前项和,且满足.
(1)证明:;
(2)求数列的通项公式;
(3)上表中,若从第三行起,每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列,且公比为同一个正数.当时,求上表中第行所有项的和.
(1)证明:由已知,当时,,,
所以, 即, -----------2分
所以 . ------------3分
(2)又. ------------4分
由(1)可知,数列是首项为1,公差为的等差数列. ------------5分
所以,
即. ------------6分
所以当时,. -----------7分
因此 -------------8分
(3)解:设上表中从第三行起,每行的公比都为,且.
因为, ------------9分
所以表中第1行至第13行共含有数列的前91项,
故在表中第14行第三列, ------------10分
因此. ------------11分
又,
所以. ------------12分
记表中第行所有项的和为,
则. -----------14分
所以, 即, -----------2分
所以 . ------------3分
(2)又. ------------4分
由(1)可知,数列是首项为1,公差为的等差数列. ------------5分
所以,
即. ------------6分
所以当时,. -----------7分
因此 -------------8分
(3)解:设上表中从第三行起,每行的公比都为,且.
因为, ------------9分
所以表中第1行至第13行共含有数列的前91项,
故在表中第14行第三列, ------------10分
因此. ------------11分
又,
所以. ------------12分
记表中第行所有项的和为,
则. -----------14分
略
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