题目内容

10.在扇形AOB中,圆心角等于$\frac{π}{3}$,半径为4,在弧AB上有一动点P(不与点AB重合),过点P引平行于OB的直线和OA交于点C,设∠AOP=θ,求三角形POC的面积的最大值及此时θ的值.

分析 根据CP∥OB求得∠CPO和和∠OCP进而在△POC中利用正弦定理求得PC和OC,进而利用三角形面积公式表示出S,利用两角和公式化简整理后,利用θ的范围确定三角形面积的最大值.

解答 解:因为CP∥OB,所以∠CPO=∠POB=60°-θ,∴∠OCP=120°.
在△POC中,由正弦定理得CP=$\frac{4sinθ}{sin120°}$=$\frac{8}{\sqrt{3}}$sinθ.OC=$\frac{4sin(60°-θ)}{sin120°}$=$\frac{8}{{\sqrt{3}}}sin({60°}-θ)$
三角形POC的面积S=$\frac{1}{2}$CP•OCsin120°=$\frac{1}{2}$•$\frac{8}{\sqrt{3}}$sinθ•$\frac{8}{{\sqrt{3}}}sin({60°}-θ)$•$\frac{\sqrt{3}}{2}$
=$\frac{8}{{\sqrt{3}}}sin(2θ+{30°})-\frac{{4\sqrt{3}}}{3}$,
所以当θ=30°,三角形POC的面积的最大值$\frac{{4\sqrt{3}}}{3}$.

点评 本题主要考查了三角函数的模型的应用.考查了考生分析问题和解决问题的能力.

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