题目内容

如图,某小区有一边长为2(单位:百米)的正方形地块OABC,其中OAE是一个游泳池,计划在地块OABC内修一条与池边AE相切的直路(宽度不计),切点为M,并把该地块分为两部分.现以点O为坐标原点,以线段OC所在直线为x轴,建立平面直角坐标系,若池边AE满足函数的图象,且点M到边OA距离为

(1)当时,求直路所在的直线方程;
(2)当为何值时,地块OABC在直路不含泳池那侧的面积取到最大,最大值是多少?

(1);(2)时,.

解析试题分析:(1)点M到边OA距离为,则可设,当时,求切线的方程是一个常规问题,切线的斜率是处的导数,易求出直线的点斜式方程;(2)要求不含泳池一侧的面积,就是要把这个面积表示为变量的函数,为此需要确定切线与线段的交点,当然也可能是与线段的交点,这作一个判断或分类讨论,面积函数解决后,用一般求最值的方法,则可解决问题.
试题解析:
(1)对函数求导得,,又,所以切点,切线的方程为,即
(2),过切点的切线
,令,故切线于点
,得,又递减,所以
故切线与OC交于点
地块OABC在切线右上部分区域为直角梯形,
面积,当
考点:导数的应用、函数的最值.

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