题目内容

若函数为定义域上的单调函数,且存在区间(其中,使得当时, 的取值范围恰为,则称函数上的正函数,区间叫做函数的等域区间.
已知上的正函数,求的等域区间;
试探求是否存在,使得函数上的正函数?若存在,请求出实数的取值范围;若不存在,请说明理由.

(1);(2)存在,

解析试题分析:(1)因为上的正函数,根据正函数的定义建立方程组,解之可求出的等域区间;
(2)根据函数函数上的正函数建立方程组,消去,求出的取值范围,转化成关于的方程上有实数解进行求解.
试题解析:(1)
(2)假设存在,使得函数上的正函数,且此时函数在上单调递减
存在使得: (*)
两式相减得,代入上式:
即关于的方程上有解
方法①参变分离:即
,所以
实数的取值范围为
方法②实根分布:令,即函数的图像在内与轴有交点,,解得
方法③ :(*)式等价于方程上有两个不相等的实根
 
考点:函数的值域

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