Question

【题目】已知函数f（x）=xln（1+x）﹣a（x+1），其中a为实常数．
（1）当x∈[1，+∞）时，f′（x）＞0恒成立，求a的取值范围；
（2）求函数 的单调区间．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意知：

则 ，

令

∵x∈[1，+∞），∴h'（x）＞0

即h（x）在[1，+∞）上单调递增

∴ ，

∴a的取值范围是

（2）解：由（1）知

则

①当a＞1，x∈（﹣1，a﹣2）时，g'（x）＜0，g（x）在（﹣1，a﹣2）上单调递减，

x∈（a﹣2，+∞）时，g'（x）＞0，g（x）在（a﹣2，+∞）上单调递增

②当a≤1时，g'（x）＞0，g（x）在（﹣1，+∞）上单调递增

综上所述，当a＞1时，g（x）的增区间为（a﹣2，+∞），减区间为（﹣1，a﹣2）

当a≤1时，g（x）的增区间为（﹣1，+∞）

【解析】（1）先求出函数f（x）的导函数，将a分类出来得则 ，然后利用导数研究不等式右式函数的最小值即可；（2）先求出函数g（x）的解析式，求出导函数g'（x），讨论a与1的大小，从而确定导函数的正负，当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．
【考点精析】解答此题的关键在于理解利用导数研究函数的单调性的相关知识，掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减．