Question

7．已知数列{a_n}为等比数列，a₂=2，a₅=$\frac{1}{4}$，则a₁a₂+a₂a₃+…+a_na_n+1=（　　）

• A． 16（1-$\frac{1}{{2}^{n}}$）
• B． 16（1-$\frac{1}{{4}^{n}}$）
• C． $\frac{32}{3}$（1-$\frac{1}{{2}^{n}}$）
• D． $\frac{32}{3}$（1-$\frac{1}{{4}^{n}}$）

Answer 1

分析 通过q³=$\frac{{a}_{5}}{{a}_{2}}$可得公比和首项，进而可得a_na_n+1=$（\frac{1}{2}）^{2n-5}$，进而可得数列{a_na_n+1}是以8为首项，$\frac{1}{4}$为公比的等比数列，计算即得结论．

解答 解：∵a₂=2，a₅=$\frac{1}{4}$，∴q³=$\frac{{a}_{5}}{{a}_{2}}$=$\frac{1}{8}$，
∴q=$\frac{1}{2}$，a₁=$\frac{{a}_{2}}{q}$=4，
∴数列{a_n}的通项为：a_n=4•$（\frac{1}{2}）^{n-1}$=$（\frac{1}{2}）^{n-3}$；
则a_na_n+1=$（\frac{1}{2}）^{n-3}$•$（\frac{1}{2}）^{n-2}$=$（\frac{1}{2}）^{2n-5}$，
又∵a₁a₂=$（\frac{1}{2}）^{2-5}$=8，
∴数列{a_na_n+1}是以8为首项，$\frac{1}{4}$为公比的等比数列，
∴a₁a₂+a₂a₃+…+a_na_n+1=8•$\frac{1-\frac{1}{{4}^{n}}}{1-\frac{1}{4}}$=$\frac{32}{3}$（1-$\frac{1}{{4}^{n}}$）．
故选：D

点评 本题考查求等比数列的通项的应用以及数列求和，考查学生的计算能力，属于中档题．