题目内容

已知双曲线C：
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)，直线l：y=
3
(x-4)关于直线l1：y=
b
a
x对称的直线l′与x轴平行．
（1）求双曲线的离心率；
（2）若点M（4，0）到双曲线上的点P的最小距离等于1，求双曲线的方程．
（1）∵双曲线C：
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)，
直线l：y=
3
(x-4)关于直线l1：y=
b
a
x对称的直线l′与x轴平行，
∴k=
3
，k1=
b
a
，k′=0，
∴|
3
-
b
a
1+
3
•
b
a
|=|
0-
b
a
1-0•
b
a
|，
解得
b
a
=
3
3
，或
b
a
=-
3
（舍）．
∴
b
a
=
3
3
，∴e=
c2
a2
=
1+
b2
a2
=
1+
1
3
=
2
3
3
．
∴双曲线的离心率e=
2
3
3
．
（2）∵
b
a
=
3
3
，∴a2=3b2，∴设双曲线为
x2
3b2
-
y2
b2
=1，
∵点M（4，0）到双曲线上的点P的最小距离等于1，
∴|
3
b-4|=1，
解得
3
b=5，或
3
b=3．
当
3
b=5时，b=
5
3
，∴b2=
25
3
，3b2=25，
双曲线方程为
x2
25
-
3y2
25
=1；
当
3
b=3时，b=
3
，b2=3，3b2=9，
双曲线方程为
x2
9
-
y2
3
=1．
∴双曲线的方程为
x2
25
-
3y2
25
=1或
x2
9
-
y2
3
=1．
练习册系列答案
相关题目
如图，已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的离心率是
2
2
，A1，A2分别是椭圆C的左、右两个顶点，点F是椭圆C的右焦点．点D是x轴上位于A2右侧的一点，且满足
1
|A1D|
+
1
|A2D|
=
2
|FD|
=2．
（1）求椭圆C的方程以及点D的坐标；
（2）过点D作x轴的垂线n，再作直线l：y=kx+m与椭圆C有且仅有一个公共点P，直线l交直线n于点Q．求证：以线段PQ为直径的圆恒过定点，并求出定点的坐标．
直线l：y=ax+1与双曲线3x2-y2=1有两个不同的交点，
（1）求a的取值范围；
（2）设交点为A，B，是否存在直线l使以AB为直径的圆恰过原点，若存在就求出直线l的方程，若不存在则说明理由．
已知顶点在原点、对称轴为坐标轴且开口向右的抛物线过点M（4，-4）．
（1）求抛物线的方程；
（2）过抛物线焦点F的直线l与抛物线交于不同的两点A、B，若|AB|=8，求直线l的方程．
如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1（-c，0），F2（c，0），已知点（1，e）和（e，
3
2
）都在椭圆上，其中e为椭圆的离心率．
（1）求椭圆的方程；
（2）设A、B是椭圆上位于x轴上方的两点，且直线AF1与直线BF2平行，若|AF1|-|BF2|=
6
2
，求直线AF的斜率．
已知椭圆M、抛物线N的焦点均在x轴上的，且M的中心和M的顶点均为原点O，从每条曲线上取两个点，将其坐标记录于下表中：
x3-24
2
y-2
3
0-4
2
2
（Ⅰ）求M，N的标准方程；
（Ⅱ）已知定点A（1，
1
2
），过原点O作直线l交椭圆M于B，C两点，求△ABC面积的最大值和此时直线l的方程．
过椭圆
x2
6
+
y2
5
=1内的一点P（2，-1）的弦，恰好被点P平分，则这条弦所在直线方程（　　）
A．y=
5
3
x-
5
6
B．y=
5
3
x-
13
3
C．y=-
5
3
x+
5
6
D．y=
5
3
x+
11
6
y轴上两定点B1（0，b）、B2（0，-b），x轴上两动点M，N．P为B1M与B2N的交点，点M，N的横坐标分别为XM、XN，且始终满足XMXN=a2（a＞b＞0且为常数），试求动点P的轨迹方程．
已知抛物线y2=-x与直线y=k（x+1）相交于A、B两点．
（1）求证：OA⊥OB；
（2）当△OAB的面积等于
10
时，求k的值．

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