题目内容

【理科】已知双曲线的中心在坐标原点O，一条准线方程为x=
3
2
，且与椭圆
x2
25
+
y2
13
=1有共同的焦点．
（1）求此双曲线的方程；
（2）设直线：y=kx+3与双曲线交于A、B两点，试问：是否存在实数k，使得以弦AB为直径的圆过点O？若存在，求出k的值，若不存在，请说明理由．
（1）设双曲线方程为
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)．
由已知得：c2=12，
a2
c
=
3
2
，则a2=3，b2=9，…（3分）
因此所求双曲线的标准方程为
x2
3
-
y2
9
=1．…（5分）
（2）存在实数k，使得以弦AB为直径的圆过点O，…（6分）
将y=kx+3代入
x2
3
-
y2
9
=1得（3-k2）x2-6kx-18=0，
则由3-k2≠0，△=216-36k2＞0得-
6
＜k＜
6
，k≠±
3
；…（8分）
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1，x2是上述方程的两个根，
由题意知：OA⊥OB，则x1x2+y1y2=0，…（10分）
又y1=kx1+3，y2=kx2+3，
∴x1x2+y1y2=（1+k2）x1x2+3k（x1+x2）+9=
9k2-9
k2-3
=0，
即k=±1满足条件．…（12分）
练习册系列答案
相关题目
已知顶点在原点、对称轴为坐标轴且开口向右的抛物线过点M（4，-4）．
（1）求抛物线的方程；
（2）过抛物线焦点F的直线l与抛物线交于不同的两点A、B，若|AB|=8，求直线l的方程．
y轴上两定点B1（0，b）、B2（0，-b），x轴上两动点M，N．P为B1M与B2N的交点，点M，N的横坐标分别为XM、XN，且始终满足XMXN=a2（a＞b＞0且为常数），试求动点P的轨迹方程．
椭圆mx2+ny2=1与直线x+y=1交于M，N两点，MN的中点为P，且OP的斜率为
2
2
，则
m
n
的值为（　　）
A．
2
2
B．
2
2
3
C．
9
2
2
D．
2
3
27
（B题）已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，长轴长为2
3
，离心率为
3
3
．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设点A（-1，1），过原点O的直线交椭圆于点B，C，求△ABC面积的最大值．
已知双曲线E：
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)的离心率为e，左、右两焦点分别为F1、F2，焦距为2c，抛物线C以F2为顶点，F1为焦点，点P为抛物线与双曲线右支上的一个交点，若a|PF2|+c|PF1|=8a2，则e的值为（　　）
A．
3
B．3C．
2
D．
6
已知抛物线y2=-x与直线y=k（x+1）相交于A、B两点．
（1）求证：OA⊥OB；
（2）当△OAB的面积等于
10
时，求k的值．
已知椭圆C1：
x2
4
+
y2
3
=1，抛物线C2：（y-m）2=2px（p＞0），且C1、C2的公共弦AB过椭圆C1的右焦点．
（Ⅰ）当AB⊥x轴时，求m、p的值，并判断抛物线C2的焦点是否在直线AB上；
（Ⅱ）是否存在m、p的值，使抛物线C2的焦点恰在直线AB上？若存在，求出符合条件的m、p的值；若不存在，请说明理由．
已知双曲线的左右焦点F1，F2的坐标为（-4，0）与（4，0），离心率e=2．
（1）求双曲线的方程；
（2）已知椭圆
x2
36
+
y2
20
=1，点P是双曲线与椭圆两曲线在第一象限的交点，求|PF1|•|PF2|的值．

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