题目内容
【题目】已知函数有两个极值点.
(1)求的取值范围;
(2)设,是的两个极值点,证明.
【答案】(1)(2)证明见解析
【解析】
(1)的定义域为,,设,则由题意得在内有两个不等零点,利用导数性质求出,推导出在和内分别存在一个变号零点,由此能求出的取值范围;
(2)的极值点,就是的零点,即,推导出,,设,,再求导,由此利用导数性质能证明,即.
解:(1)由,,得.
函数有两个极值点等价于在上有两个变号零点,
等价于在上有两个变号零点.
令,则.
所以时,,单调递增;
时,,单调递减,所以.
当时,恒成立,在上单调递减,不可能有两个极值点,舍去;
当时,,,,,而,
由零点存在性定理得在和内分别存在一个变号零点,此时有两个极值点.
综上,所以求的取值范围为.
(2)因为,是的两个极值点,所以,且.
由(1)知,.
令,.
则,
由在恒成立,得时,,单调递减.
又,所以时,,即.
所以,所以.
由(1)知在单调递减,
所以,即.
所以,即,
因为,所以,所以.
即.
【题目】为更好地落实农民工工资保证金制度,南方某市劳动保障部门调查了2018年下半年该市名农民工(其中技术工、非技术工各名)的月工资,得到这名农民工的月工资均在(百元)内,且月工资收入在(百元)内的人数为,并根据调查结果画出如图所示的频率分布直方图:
(1)求的值;
(2)已知这名农民工中月工资高于平均数的技术工有名,非技术工有名.
①完成如下所示列联表
技术工 | 非技术工 | 总计 | |
月工资不高于平均数 | |||
月工资高于平均数 | |||
总计 |
②则能否在犯错误的概率不超过的前提下认为是不是技术工与月工资是否高于平均数有关系?
参考公式及数据:,其中.
【题目】某种大型医疗检查机器生产商,对一次性购买2台机器的客户,推出两种超过质保期后两年内的延保维修优惠方案:方案一:交纳延保金7000元,在延保的两年内可免费维修2次,超过2次每次收取维修费2000元;方案二:交纳延保金10000元,在延保的两年内可免费维修4次,超过4次每次收取维修费1000元.某医院准备一次性购买2台这种机器。现需决策在购买机器时应购买哪种延保方案,为此搜集并整理了50台这种机器超过质保期后延保两年内维修的次数,得下表:
维修次数 | 0 | 1 | 2 | 3 |
台数 | 5 | 10 | 20 | 15 |
以这50台机器维修次数的频率代替1台机器维修次数发生的概率,记X表示这2台机器超过质保期后延保的两年内共需维修的次数。
(1)求X的分布列;
(2)以所需延保金及维修费用的期望值为决策依据,医院选择哪种延保方案更合算?