题目内容

【题目】已知椭圆)的离心率为,过椭圆的左焦点和上顶点的直线与圆相切.

1)求椭圆的方程;

2)过点的直线与椭圆交于两点,点与原点关于直线对称,试求四边形的面积的最大值.

【答案】1;(22

【解析】

1)由题得:过椭圆的左焦点和上顶点的直线方程为,又由该直线与圆相切得到:,联立,解方程组即得;

2)由题得直线的斜率一定存在,可设直线,代入椭圆方程,消元化简得:

,由弦长公式求得,再求出点到直线的距离,算出,最后求出四边形的面积的最大值.

1)过椭圆的左焦点和上顶点的直线方程为,即

又该直线与圆相切,,又离心率

椭圆的方程为.

2)由点与原点关于直线对称,得.

当直线的斜率不存在时,轴,四边形不存在,不合题意.

当直线的斜率存在时,设斜率为,则直线,设

代入,得

,即时,

从而

又点到直线的距离

,则

当且仅当,即时等号成立,且满足

四边形的面积的最大值为2.

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