题目内容
【题目】已知椭圆
（
）的离心率为
，过椭圆
的左焦点和上顶点的直线与圆
相切.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点
的直线
与椭圆交于
、
两点，点
与原点
关于直线对称，试求四边形
的面积的最大值.
【答案】（1）
；（2）2
【解析】
（1）由题得：过椭圆
的左焦点和上顶点的直线方程为
，又由该直线与圆相切得到：
，联立
，解方程组即得；
（2）由题得直线
的斜率
一定存在，可设直线
，代入椭圆方程，消元化简得：
，由弦长公式求得
，再求出点
到直线
的距离
，算出
，最后求出四边形
的面积的最大值.
（1）过椭圆的左焦点和上顶点的直线方程为，即
，
又该直线与圆相切，
，又离心率
，
，
，
，
椭圆的方程为.
（2）由点
与原点关于直线对称，得
.
当直线的斜率不存在时，
轴，四边形不存在，不合题意.
当直线的斜率存在时，设斜率为，则直线，设
，
，
将
代入，得，
当
，即
时，
，
，
从而
，
又点到直线的距离，
，
设
，则
，
，
当且仅当
，即
时等号成立，且满足
，
四边形的面积的最大值为2.
53随堂测系列答案
【题目】某大型商场去年国庆期间累计生成
万张购物单，从中随机抽出
张，对每单消费金额进行统计得到下表：
消费金额（单位：元） |
|
|
|
|
|
购物单张数 | 25 | 25 | 30 | 10 | 10 |
由于工作人员失误，后两栏数据已无法辨识，但当时记录表明，根据由以上数据绘制成的频率分布直方图所估计出的每单消费额的中位数与平均数恰好相等.用频率估计概率，完成下列问题：
（1）估计去年国庆期间该商场累计生成的购物单中，单笔消费额超过
元的概率；
（2）为鼓励顾客消费，该商场打算在今年国庆期间进行促销活动，凡单笔消费超过
元者，可抽奖一次，中一等奖、二等奖、三等奖的顾客可以分别获得价值
元、
元、
元的奖品.已知中奖率为
，且一等奖、二等奖、三等奖的中奖率依次构成等比数列，其中一等奖的中奖率为
.若今年国庆期间该商场的购物单数量比去年同期增长
，式预测商场今年国庆期间采办奖品的开销.
【题目】某大型商场的空调在1月到5月的销售量与月份相关，得到的统计数据如下表：
月份 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
销量 | 0.6 | 0.8 | 1.2 | 1.6 | 1.8 |
（1）经分析发现1月到5月的销售量可用线性回归模型拟合该商场空调的月销量
（百件）与月份
之间的相关关系.请用最小二乘法求关于的线性回归方程
，并预测6月份该商场空调的销售量；
（2）若该商场的营销部对空调进行新一轮促销，对7月到12月有购买空调意愿的顾客进行问卷调查.假设该地拟购买空调的消费群体十分庞大，经过营销部调研机构对其中的500名顾客进行了一个抽样调查，得到如下一份频数表：
有购买意愿对应的月份 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
频数 | 60 | 80 | 120 | 130 | 80 | 30 |
现采用分层抽样的方法从购买意愿的月份在7月与12月的这90名顾客中随机抽取6名，再从这6人中随机抽取3人进行跟踪调查，求抽出的3人中恰好有2人是购买意愿的月份是12月的概率.
参考公式与数据：线性回归方程，其中
，
.
