题目内容
2.已知函数f(x)=1+$\frac{2}{x}$,数列{xn}满足x1=$\frac{11}{7}$,xn+1=f(xn),若bn=$\frac{1}{{x}_{n}-2}$+$\frac{1}{3}$(1)求证:数列{bn}是等比数列;
(2)求数列{bn}的通项公式.
分析 (1)先由f(x)的式子给出xn+1的表达式,然后由bn的式子给出bn+1的表达式,再用等比数列的定义即可证明;
(2)由等比数列的通项公式给出bn的表达式.
解答 解:∵f(x)=1+$\frac{2}{x}$,数列{xn}满足x1=$\frac{11}{7}$,xn+1=f(xn),
∴xn+1=1+$\frac{2}{{x}_{n}}$=$\frac{{x}_{n}+2}{{x}_{n}}$,
∵bn=$\frac{1}{{x}_{n}-2}$+$\frac{1}{3}$=$\frac{{x}_{n}+1}{3({x}_{n}-2)}$
∴bn+1=$\frac{1}{{x}_{n+1}-2}$+$\frac{1}{3}$=$\frac{1}{1+\frac{2}{{x}_{n}}-2}$+$\frac{1}{3}$=$\frac{1}{\frac{2}{{x}_{n}}-1}$+$\frac{1}{3}$=$\frac{2({x}_{n}+1)}{3(2-{x}_{n})}$,
∴$\frac{{b}_{n+1}}{{b}_{n}}$=-2,
∴{bn}是等比数列,
(2)∵x1=$\frac{11}{7}$,bn=$\frac{1}{{x}_{n}-2}$+$\frac{1}{3}$,
∴b1=$\frac{1}{\frac{11}{7}-2}$+$\frac{1}{3}$=-2,
由(1)可知公比q=-2,
∴bn=(-2)n.
点评 本题考查了函数和数列的关系,抓住函数的表达式是解题的关键,属于中档题.
练习册系列答案
相关题目
2.已知cosα-sinα=$\sqrt{2}$,α∈(-π,0),则tanα=( )
A. | -1 | B. | -$\frac{\sqrt{2}}{2}$ | C. | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | D. | 1 |
17.已知二面角α-l-β为锐角,A∈a,A到平面β的距离AH=2$\sqrt{3}$,点A到棱的距离为AB=4,则二面角α-l-β的大小为( )
A. | 15° | B. | 50° | C. | 60° | D. | 45° |
12.下面是高考第一批录取的一份志愿表:
现有4所重点院校,每所院校有3个专业是你较为满意的选择,如果从中任选3所随意填报,表格填满且规定学校没有重复,同一学校的专业也没有重复的话,不同的填写方法的种数是多少?
志愿 | 第一志愿 | 第二志愿 | 第三志愿 |
学校 | 1 | 2 | 3 |
专业 | 第1专业 | 第1专业 | 第1专业 |
第2专业 | 第2专业 | 第2专业 |