题目内容
2．已知函数f（x）=1+$\frac{2}{x}$，数列{xn}满足x1=$\frac{11}{7}$，xn+1=f（xn），若bn=$\frac{1}{{x}_{n}-2}$+$\frac{1}{3}$（1）求证：数列{bn}是等比数列；
（2）求数列{bn}的通项公式．
分析 （1）先由f（x）的式子给出xn+1的表达式，然后由bn的式子给出bn+1的表达式，再用等比数列的定义即可证明；
（2）由等比数列的通项公式给出bn的表达式．
解答 解：∵f（x）=1+$\frac{2}{x}$，数列{xn}满足x1=$\frac{11}{7}$，xn+1=f（xn），
∴xn+1=1+$\frac{2}{{x}_{n}}$=$\frac{{x}_{n}+2}{{x}_{n}}$，
∵bn=$\frac{1}{{x}_{n}-2}$+$\frac{1}{3}$=$\frac{{x}_{n}+1}{3（{x}_{n}-2）}$
∴bn+1=$\frac{1}{{x}_{n+1}-2}$+$\frac{1}{3}$=$\frac{1}{1+\frac{2}{{x}_{n}}-2}$+$\frac{1}{3}$=$\frac{1}{\frac{2}{{x}_{n}}-1}$+$\frac{1}{3}$=$\frac{2（{x}_{n}+1）}{3（2-{x}_{n}）}$，
∴$\frac{{b}_{n+1}}{{b}_{n}}$=-2，
∴{bn}是等比数列，
（2）∵x1=$\frac{11}{7}$，bn=$\frac{1}{{x}_{n}-2}$+$\frac{1}{3}$，
∴b1=$\frac{1}{\frac{11}{7}-2}$+$\frac{1}{3}$=-2，
由（1）可知公比q=-2，
∴bn=（-2）n．
点评 本题考查了函数和数列的关系，抓住函数的表达式是解题的关键，属于中档题．
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