题目内容

2.已知函数f(x)=1+$\frac{2}{x}$,数列{xn}满足x1=$\frac{11}{7}$,xn+1=f(xn),若bn=$\frac{1}{{x}_{n}-2}$+$\frac{1}{3}$
(1)求证:数列{bn}是等比数列;
(2)求数列{bn}的通项公式.

分析 (1)先由f(x)的式子给出xn+1的表达式,然后由bn的式子给出bn+1的表达式,再用等比数列的定义即可证明;
(2)由等比数列的通项公式给出bn的表达式.

解答 解:∵f(x)=1+$\frac{2}{x}$,数列{xn}满足x1=$\frac{11}{7}$,xn+1=f(xn),
∴xn+1=1+$\frac{2}{{x}_{n}}$=$\frac{{x}_{n}+2}{{x}_{n}}$,
∵bn=$\frac{1}{{x}_{n}-2}$+$\frac{1}{3}$=$\frac{{x}_{n}+1}{3({x}_{n}-2)}$
∴bn+1=$\frac{1}{{x}_{n+1}-2}$+$\frac{1}{3}$=$\frac{1}{1+\frac{2}{{x}_{n}}-2}$+$\frac{1}{3}$=$\frac{1}{\frac{2}{{x}_{n}}-1}$+$\frac{1}{3}$=$\frac{2({x}_{n}+1)}{3(2-{x}_{n})}$,
∴$\frac{{b}_{n+1}}{{b}_{n}}$=-2,
∴{bn}是等比数列,
(2)∵x1=$\frac{11}{7}$,bn=$\frac{1}{{x}_{n}-2}$+$\frac{1}{3}$,
∴b1=$\frac{1}{\frac{11}{7}-2}$+$\frac{1}{3}$=-2,
由(1)可知公比q=-2,
∴bn=(-2)n

点评 本题考查了函数和数列的关系,抓住函数的表达式是解题的关键,属于中档题.

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