题目内容
10.如图,在四棱柱P-ABCD中,底面是边长为2的正方形,侧棱PA⊥底面ABCD,PA=2,M,N分别为AD,BC的中点.(1)求证:平面PMN⊥平面PAD
(2)求PM与平面PCD所成角的正弦值.
分析 (1)证明MN⊥平面PAD,即可证明平面PMN⊥平面PAD
(2)过M作MO⊥平面PCD,连接PO,则∠MPO即为所求,利用VM-PCD=VP-MCD,求出OM,即可求PM与平面PCD所成角的正弦值.
解答 (1)证明:∵PA⊥面ABCD,
∴PA⊥MN,PA⊥AB,
∵M、N分别为AD、BC中点,
∴AB∥MN,
∵AB⊥AD,AD∩MN=M,
∴AB⊥平面PAD,
∵AB∥MN,
∴MN⊥平面PAD,
∵MN?平面PMN,
∴平面PMN⊥平面PAD---------(5分)
(2)解:过M作MO⊥平面PCD,连接PO,则∠MPO即为所求.
∵VM-PCD=VP-MCD,
∴$\frac{1}{2}×2×2\sqrt{2}×OM$=$\frac{1}{2}×1×2×2$,
∴OM=$\frac{\sqrt{2}}{2}$,
∴sin∠MPO=$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{10}}{10}$---------(12分)
点评 本题考查平面与平面、直线与平面垂直的判定,考查线面角,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.
练习册系列答案
相关题目
10.如果一个数列是等差数列,将它的各项取绝对值后仍是等差数列,则该数列( )
A. | 是常数列 | B. | 公差大于零 | C. | 公差小于零 | D. | 以上均有可能 |