题目内容

10.如图,在四棱柱P-ABCD中,底面是边长为2的正方形,侧棱PA⊥底面ABCD,PA=2,M,N分别为AD,BC的中点.
(1)求证:平面PMN⊥平面PAD
(2)求PM与平面PCD所成角的正弦值.

分析 (1)证明MN⊥平面PAD,即可证明平面PMN⊥平面PAD
(2)过M作MO⊥平面PCD,连接PO,则∠MPO即为所求,利用VM-PCD=VP-MCD,求出OM,即可求PM与平面PCD所成角的正弦值.

解答 (1)证明:∵PA⊥面ABCD,
∴PA⊥MN,PA⊥AB,
∵M、N分别为AD、BC中点,
∴AB∥MN,
∵AB⊥AD,AD∩MN=M,
∴AB⊥平面PAD,
∵AB∥MN,
∴MN⊥平面PAD,
∵MN?平面PMN,
∴平面PMN⊥平面PAD---------(5分)
(2)解:过M作MO⊥平面PCD,连接PO,则∠MPO即为所求.
∵VM-PCD=VP-MCD
∴$\frac{1}{2}×2×2\sqrt{2}×OM$=$\frac{1}{2}×1×2×2$,
∴OM=$\frac{\sqrt{2}}{2}$,
∴sin∠MPO=$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{10}}{10}$---------(12分)

点评 本题考查平面与平面、直线与平面垂直的判定,考查线面角,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.

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