题目内容

如图,P1(x1y1),P2(x2y2),…,Pn(xnyn)(0<y1y2<…<yn)是曲线Cy2=3x(y≥0)上的n个点,点Ai(ai,0)(i=1,2,3,…,n)在x轴的正半轴上,且△Ai-1AiPi是正三角形(A0是坐标原点).
 
(1)写出a1a2a3
(2)求出点An(an,0)(n∈N*)的横坐标an关于n的表达式.
(1)a1=2,a2=6,a3=12(2)ann(n+1)(n∈N*)
(1)a1=2,a2=6,a3=12;
(2)依题意,得xnyn,由此及=3xn 2(an-1an),即(anan-1)2=2(an-1an).
由(1)可猜想:ann(n+1)(n∈N*).
下面用数学归纳法予以证明:
(1)当n=1时,命题显然成立;
(2)假定当nk时命题成立,即有akk(k+1),
则当nk+1时,由归纳假设及(ak+1ak)2=2(akak+1)得[ak+1k(k+1)]2=2[k(k+1)+ak+1],
即(ak+1)2-2(k2k+1)ak+1+[k(k-1)]·[(k+1)(k+2)]=0,
解之得ak+1=(k+1)(k+2)(ak+1k(k-1)<ak不合题意,舍去),
即当nk+1时,命题也成立.所以ann(n+1)(n∈N*).
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