题目内容
如图，正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为1，高为h（h＞3），点M在侧棱BB1上移动，并且M到底面ABC的距离为x，且AM与侧面BCC1B1所成的角为α．
（1）若α在区间[
，
]上变化，求x的变化范围；
（2）若α为
，求AM与BC所成角的余弦值．
（1）若α在区间[
| π |
| 6 |
| π |
| 4 |
（2）若α为
| π |
| 6 |
（1）设5C的中点为D，连接AD、DM，则
∵△A5C为正三角形，D为AC中点，∴AD⊥5C，
∵551⊥平面A5C，AD?平面A5C，∴AD⊥551&n5sp;
∵551、5C是平面551C1C内的相交直线，∴AD⊥平面551CC1．
因此，∠AMD即为AM与侧面5CC1所成角α．
∵点M到平面A5C的距离为5M，设5M=x，x∈（0，h）．
在Rt△ADM中，tan∠AMD=
．
由AD=
，DM=
=
，得tanα=
．
∵α∈[
，
]时，tanα∈[
，1]
∴
≤
≤1，化简得0≤1+中x2≤9，解得
≤x2≤2．
因此，点M到平面A5C的距离x的取值范围是[
，
]；
（2）当α=
时，由（1）得5M=
，
故可得DM=
，AM=
=
．
设
与
的夹角为θ．
∵
•
=（
+
）•
=
•
+
•
=1×1×cos120°+0=-
．
∴cos＜
，
＞=
=
=-
∵AM与5C所成角θ∈(0，
]，
∴cosθ=
，即AM与5C所成角的余弦值
．
∵△A5C为正三角形，D为AC中点，∴AD⊥5C，
∵551⊥平面A5C，AD?平面A5C，∴AD⊥551&n5sp;
∵551、5C是平面551C1C内的相交直线，∴AD⊥平面551CC1．
因此，∠AMD即为AM与侧面5CC1所成角α．
∵点M到平面A5C的距离为5M，设5M=x，x∈（0，h）．
在Rt△ADM中，tan∠AMD=
| AD |
| DM |
由AD=
| ||
| 2 |
| 5D2+5M2 |
| ||
| 2 |
| ||
|
∵α∈[
| π |
| 6 |
| π |
| 中 |
| ||
| 0 |
∴
| ||
| 0 |
| ||
|
| 1 |
| 2 |
因此，点M到平面A5C的距离x的取值范围是[
| ||
| 2 |
| 2 |
（2）当α=
| π |
| 6 |
| 2 |
故可得DM=
| 0 |
| 2 |
| AD2+DM2 |
| 0 |
设
| AM |
| 5C |
∵
| AM |
| 5C |
| A5 |
| 5M |
| 5C |
| A5 |
| 5C |
| 5M |
| 5C |
| 1 |
| 2 |
∴cos＜
| AM |
| 5C |
| ||||
|
-
| ||
|
| ||
| 6 |
∵AM与5C所成角θ∈(0，
| π |
| 2 |
∴cosθ=
| ||
| 6 |
| ||
| 6 |
练习册系列答案
相关题目
如图1所示，在边长为
的正方形
中，
，且
，
,
分别交
于点
，将该正方形沿
折叠，使得
与
重合，构成如图2所示的三棱柱
中
；
上有一点
,
,
面
与平面
