题目内容
数列{an}的前n项和为Sn=2an-2,数列{bn}是首项为a1,公差不为零的等差数列,且b1,b3,b11成等比数列.
(1)求数列{an}与{bn}的通项公式;
(2)求证:
<5.
(1)求数列{an}与{bn}的通项公式;
(2)求证:

(1)bn=3n-1(2)见解析
(1)当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(2an-2)-(2an-1-2)=2an-2an-1,得an=2an-1.
又由a1=S1=2a1-2,得a1=2,所以数列{an}是以2为首项,2为公比的等比数列,
所以数列{an}的通项公式为an=2n.
b1=a1=2,设公差为d,则由b1,b3,b11成等比数列,得(2+2d)2=2×(2+10d),
解得d=0(舍去)或d=3,
所以数列{bn}的通项公式为bn=3n-1.,
(2)证明:令Tn=
=
,①
2Tn=2+
,②
②-①得
Tn=2+
,
所以Tn=
,
又
>0,故Tn<5.
又由a1=S1=2a1-2,得a1=2,所以数列{an}是以2为首项,2为公比的等比数列,
所以数列{an}的通项公式为an=2n.
b1=a1=2,设公差为d,则由b1,b3,b11成等比数列,得(2+2d)2=2×(2+10d),
解得d=0(舍去)或d=3,
所以数列{bn}的通项公式为bn=3n-1.,
(2)证明:令Tn=


2Tn=2+

②-①得
Tn=2+

所以Tn=

又


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