题目内容
【题目】如图,在多面体ABCDEF中,四边形ABCD为菱形,且,
平面ABCD,
,且
,
.
Ⅰ
求证:
平面ACF;
Ⅱ
求直线AE与平面ACF所成角的正弦值.
【答案】(Ⅰ)详见解析;(Ⅱ).
【解析】
Ⅰ
取AC与BD的交点为O,连OF,证明
,且
,即可证明
,进而得到
平面ACF;
Ⅱ
将线面角转化为
,或者建立坐标系,用向量法处理.
解:Ⅰ
证明:取AC与BD的交点为O,连OF,
,
,
四边形EFOD为平行四边形,
,
平面
平面AFC,
平面ACF;
Ⅱ
解法一:
平面ABCD,
,又
,
四边形ABCD为菱形,
,
平面ACF,
是直线AE与平面ACF所成角,
可得,
,
,
.
方法二:易证OA,OB,OF两两垂直,以OA,OB,OF所在直线分别为x,y,z轴建系,如图,
,
设平面ACF法向量为,
得一个法向量,
,
直线AE与平面ACF所成角的正弦值.

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