题目内容
【题目】如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD为菱形，且
，
平面ABCD，
，且
，
．
Ⅰ
求证：
平面ACF；
Ⅱ求直线AE与平面ACF所成角的正弦值．
【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）
.
【解析】
Ⅰ
取AC与BD的交点为O，连OF，证明
，且
，即可证明
，进而得到
平面ACF；
Ⅱ将线面角转化为
，或者建立坐标系，用向量法处理．
解：Ⅰ证明：取AC与BD的交点为O，连OF，
，
，
四边形EFOD为平行四边形，
，
平面
平面AFC，
平面ACF；
Ⅱ解法一：
平面ABCD，
，又
，
四边形ABCD为菱形，
，
平面ACF，
是直线AE与平面ACF所成角，
可得
，
，
，
.
方法二：易证OA，OB，OF两两垂直，以OA，OB，OF所在直线分别为x，y，z轴建系，如图，
，
设平面ACF法向量为
，
得一个法向量
，
，
直线AE与平面ACF所成角的正弦值
．
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