Question

【题目】椭圆的离心率为且四个顶点构成面积为的菱形.

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）过点且斜率不为0的直线与椭圆交于，两点，记中点为，坐标原点为，直线交椭圆于，两点，当四边形的面积为时，求直线的方程.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）或.

【解析】

（Ⅰ）由离心率为结合得到，结合四个顶点构成面积为的菱形列方程即可求解.

（Ⅱ）设点，的坐标分别为，，点坐标为，设直线的方程为，联立直线与椭圆方程可得：，，即可求得直线的方程为，联立直线与椭圆方程即可求得，求出两点到直线的距离，，结合四边形的面积为列方程即可求得，问题得解。

解：（Ⅰ）设椭圆的焦距为，则，又，所以.

因为，所以，，

故所求椭圆的标准方程为.

（Ⅱ）设点，的坐标分别为，，直线的方程为，与椭圆方程联立，得 .

设点坐标为，则有，，因此.

所以直线的方程为，与椭圆方程联立，得.

所以弦长.

不妨设点在直线：上方，则点在直线：下方.

点到直线的距离为，

点到直线的距离为.

所以.

所以面积 .

因此直线的方程为或.