题目内容
【题目】已知命题函数
是
上的奇函数,命题
函数
的定义域和值域都是
,其中
.
(1)若命题为真命题,求实数
的值;
(2)若“且
”为假命题,“
或
”为真命题,求实数
的取值范围.
【答案】(1);(2)
.
【解析】分析:(1)根据奇函数定义得f(-x)+f(x)=0,解得实数的值;(2)根据函数
单调性得
转化为对应一元二次方程有两个大于1的不相等实根,利用实根分布解得k的取值范围,由“p且q”为假命题,“p或q”为真命题,得命题p和q中有且仅有一个为真命题,根据真假列方程组解得实数
的取值范围.
详解:(1)若命题p为真命题,则f(-x)+f(x)=0,
即,
化简得对任意的x∈R成立,
所以k=1.
(2)若命题q为真命题,因为在[a,b]上恒成立,
所以g(x)在[a,b]上是单调增函数,
又g(x)的定义域和值域都是[a,b],所以
所以a,b是方程的两个不相等的实根,且1<a<b.
即方程有两个大于1的实根且不相等,
记h(x)=k2x2-k(2k-1)x+1,
故,解得
,
所以k的取值范围为.
因为“p且q”为假命题,“p或q”为真命题,
所以命题p和q中有且仅有一个为真命题,
即p真q假,或p假q真.
所以或
所以实数k的取值范围为.

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