Question

【题目】已知命题函数是上的奇函数，命题函数的定义域和值域都是，其中.

（1）若命题为真命题，求实数的值；

（2）若“且”为假命题，“或”为真命题，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】分析：（1）根据奇函数定义得f(－x)＋f(x)＝0，解得实数的值；（2）根据函数单调性得转化为对应一元二次方程有两个大于1的不相等实根，利用实根分布解得k的取值范围，由“p且q”为假命题，“p或q”为真命题，得命题p和q中有且仅有一个为真命题，根据真假列方程组解得实数的取值范围.

详解：（1）若命题p为真命题，则f(－x)＋f(x)＝0，

即，

化简得对任意的x∈R成立，

所以k＝1．

（2）若命题q为真命题，因为在[a，b]上恒成立，

所以g(x)在[a，b]上是单调增函数，

又g(x)的定义域和值域都是[a，b]，所以

所以a，b是方程的两个不相等的实根，且1＜a＜b．

即方程有两个大于1的实根且不相等，

记h(x)＝k2x2－k(2k－1)x＋1，

故，解得，

所以k的取值范围为．

因为“p且q”为假命题，“p或q”为真命题，

所以命题p和q中有且仅有一个为真命题，

即p真q假，或p假q真．

所以或

所以实数k的取值范围为．