题目内容
【题目】在平面上,将两个半圆弧
和
、两条直线
和
围成的封闭图形记为
,如图中阴影部分.记
绕
轴旋转一周而成的几何体为
,过
作
的水平截面,所得截面面积为
,试利用祖暅原理(祖暅原理:“幂势既同,则积不容异”,意思是:两等高的几何体在同高处被截得的两个截面面积均相等,那么这两个几何体的体积相等)、一个平放的圆柱和一个长方体,得出
的体积值为__________.
【答案】
【解析】
由题目给出的的水平截面的面积,可猜想水平放置的圆柱和长方体的量,然后直接求出圆柱的体积与长方体的体积作和即可.
因为几何体的水平截面的截面面积为
,该截面的截面面积由两部分组成,一部分为定值
,看作是截一个底面积为
,高为2的长方体得到的,对于
,看作是把一个半径为1,高为
的圆柱得到的,如图所示:
这两个几何体和放在一起,根据祖暅原理,每个平行水平面的截面面积相等,故它们体积相等,即
的体积为
.故填
.
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