题目内容
【题目】已知椭圆的离心率为
,
是椭圆
上任意一点,且点
到椭圆
的一个焦点的最大距离等于
.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)若过点的直线与椭圆
相交于不同两点
,设
为椭圆上一点,是否存在整数
,使得
(其中
为坐标原点)?若存在,试求整数
的所有取值;若不存在,请说明理由.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)整数
的所有取值为-1,0,1.
【解析】试题分析:(Ⅰ)由,解得
,则椭圆方程可求;
(Ⅱ)设出直线方程,和椭圆联立后化为关于的一元二次方程,由判别式大于
求出
的范围,利用根与系数关系得到
两点的横坐标的和与积,代入
后得到
点的坐标,把
点坐标代入椭圆方程后得到
与
的关系,由
的范围确定
的范围.
试题解析:(Ⅰ)设椭圆的半焦距为
,则由题意知
,解得
,
所以椭圆的方程为
.
(Ⅱ)结论:存在整数,使得
.理由如下:
由题意知直线的斜率存在.
设,
,
,
,
由方程组,消去
整理得
.
∵直线与椭圆
有两个不同的公共点,
∴
,解得
.
而,
,
∵,
∴,
∴,
.
∵点在椭圆上,∴
,
∴
,即
,解得
,
∴整数的所有取值为-1,0,1.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】某保险公司利用简单随机抽样方法,对投保车辆进行抽样,样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下:
赔付金额(元) | 0 | 1 000 | 2 000 | 3 000 | 4 000 |
车辆数(辆) | 500 | 130 | 100 | 150 | 120 |
(1)若每辆车的投保金额均为2800元,估计赔付金额大于投保金额的概率.
(2)在样本车辆中,车主是新司机的占10%,在赔付金额为4000元的样本车辆中,车主是新司机的占20%,估计在已投保车辆中,新司机获赔金额为4000元的概率.
【题目】为做好2022年北京冬季奥运会的宣传工作,组委会计划从某大学选取若干大学生志愿者,某记者在该大学随机调查了1000名大学生,以了解他们是否愿意做志愿者工作,得到的数据如表所示:
愿意做志愿者工作 | 不愿意做志愿者工作 | 合计 | |
男大学生 | 610 | ||
女大学生 | 90 | ||
合计 | 800 |
(1) 根据题意完成表格;
(2) 是否有的把握认为愿意做志愿者工作与性别有关?
参考公式及数据: ,其中
.
0.25 | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | |
1.323 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 |