Question

【题目】对于定义域为的函数，若同时满足下列三个条件：① ；② 当，且时，都有 ；③ 当，且时，都有， 则称为“偏对称函数”．现给出下列三个函数： ； ； 则其中是“偏对称函数”的函数个数为

A. B. C. D.

Answer 1

【答案】C

【解析】（1）经验证可得，函数都满足条件①；

（2）由可得或，即条件②等价于函数函数f(x)在区间(∞,0)上单调递减，在区间(0,+∞)上单调递增．

（ⅰ）对于函数，由于，故当或时，函数单调递减；当时，函数单调递增．故不满足条件②，从而不是“偏对称函数”．

（ⅱ）对于函数，由于，故当时，函数单调递减，当时，函数单调递增．故满足条件②．

（ⅲ）对于函数，由复合函数的单调性法则知在区间(∞,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增，故满足条件②．

（3）由题意可得，且，即，且．

（ⅰ）对于函数，有

．

令，则，由于，故等号不成立，所以在上单调递增，故，从而可得．所以满足条件③，即是“偏对称函数”．

（ⅱ）对于函数，有

．令，则，故在上单调递增，所以，从而可得．所以满足条件③，即是“偏对称函数”．

综上可得函数和是“偏对称函数”．选C．