题目内容
【题目】已知函数,其中
.
(Ⅰ)当时,设
.求函数
的单调区间;
(Ⅱ)当,
时,证明:
.
【答案】(Ⅰ)单调递减区间为,单调递增区间为
.;(Ⅱ)证明见解析.
【解析】
(Ⅰ)当时,
,求出导数
,根据
在
上单调递增,且
,即可利用导数与单调性的关系求出;
(Ⅱ)当,
时,
即为
,因为
在
上恒成立,即可证
,不等式可变形为
,构造函数
,求出该函数在
上的最小值大于等于零,即得证.
(Ⅰ)当时,
,则
.
∵在
上单调递增,且
,
∴当时,
;当
时,
.
∴的单调递减区间为
,单调递增区间为
.
(Ⅱ)设,则
.
令,解得
.
∴当时,
,即
在
上单调递减;
当时,
,即
在
上单调递增.
∴.
∴在
上恒成立.
现要证,只需证
.
可证,即
.
设,则
.
令,解得
.
∴当时,
,即
在
上单调递减;
当时,
,即
在
上单调递增.
∴.
∴在
上恒成立.
综上,可知,当
时等号成立;
,当
时等号成立.
∴当,
时,
.
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练习册系列答案
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质量指标值 | 等级 | 频数 | 频率 |
三等品 | 10 | 0.1 | |
二等品 | 30 | ||
一等品 | 0.4 | ||
特等品 | 20 | 0.2 | |
合计 | 1 |
(1)求,
,
;
(2)从质量指标值在的产品中,按照等级分层抽样抽取6件,再从这6件中随机抽取2件,求至少有1件特等品被抽到的概率.