题目内容
16.已知定义在R上的函数f(x)是满足f(x)+f(-x)=0,在(-∞,0)上$\frac{{f({x_1})-f({x_2})}}{{{x_1}-{x_2}}}<0$,且f(5)=0,则使f(x)<0的x取值范围是(-5,0)∪(5,+∞).分析 由条件及奇函数、减函数的定义便知f(x)为奇函数,且在(-∞,0),(0,+∞)上为减函数,且有f(-5)=f(5)=0,从而可分别讨论x>0,和x<0从而得出$\left\{\begin{array}{l}{x>0}\\{f(x)<f(5)}\end{array}\right.$,或$\left\{\begin{array}{l}{x<0}\\{f(x)<f(-5)}\end{array}\right.$,这样根据f(x)的单调性即可得出x的取值范围.
解答 解:根据条件知,f(x)在R上为奇函数,在(-∞,0)上单调递减;
∴f(x)在(0,+∞)上单调递减,且f(-5)=f(5)=0;
∴①x>0时,由f(x)<0得,f(x)<f(5);
∴x>5;
②x<0时,由f(x)<0得,f(x)<f(-5);
-5<x<0;
∴x的取值范围为(-5,0)∪(5,+∞).
故答案为:(-5,0)∪(5,+∞).
点评 考查奇函数、减函数的定义,根据减函数的定义解不等式的方法.
练习册系列答案
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6.对定义在R上的函数f(x),若实数x0满足f(x0)=x0,则x0称为f(x)的一个不动点.设二次函数f(x)=x2+mx-m+2,若f(x)在[0,+∞)上有不动点,则m的取值范围是( )
A. | [-1-2$\sqrt{2}$,2] | B. | (-∞,-1-2$\sqrt{2}$]∪[2,+∞) | C. | [-1,2] | D. | (-∞,-1]∪[2,+∞) |
6.投掷两枚骰子,则点数之和是8的概率为( )
A. | $\frac{5}{36}$ | B. | $\frac{1}{6}$ | C. | $\frac{2}{15}$ | D. | $\frac{1}{12}$ |