Question

1．已知函数$f（x）=|{{3^x}-1}|，a∈[\frac{1}{3}，1）$，若函数g（x）=f（x）-a有两个不同的零点x₁，x₂（x₁＜x₂），函数$h（x）=f（x）-\frac{a}{2a+1}$有两个不同的零点x₃，x₄（x₃＜x₄）．
（1）若$a=\frac{2}{3}$，求x₁的值；
（2）求x₂-x₁+x₄-x₃的最小值．

Answer 1

分析 （1）当$a=\frac{2}{3}$时，令$g（x）=|{{3^x}-1}|-\frac{2}{3}=0$，结合x₁＜x₂，可得x₁的值；
（2）由已知可得：x₁=log₃（1-a），x₂=log₃（1+a），${x}_{3}=lo{g}_{3}（1-\frac{a}{2a+1}），{x}_{4}=lo{g}_{3}（1+\frac{a}{2a+1}）$，结合对数的运算性质和对数函数的图象和性质，可得x₂-x₁+x₄-x₃的最小值．

解答 解：（1）当$a=\frac{2}{3}$时，$g（x）=|{{3^x}-1}|-\frac{2}{3}=0$，
即${3^x}=\frac{1}{3}或\frac{5}{3}$，
∵x₁＜x₂，
∴x₁=-1…（4分）
（2）∵g（x）=|3^x-1|-a=0，
∴3^x=1±a，
∵x₁＜x₂，
∴x₁=log₃（1-a），x₂=log₃（1+a），…（8分）
∵$h（x）=|{{3^x}-1}|-\frac{a}{2a+1}=0$，
∴${3^x}=1±\frac{a}{2a+1}$，
∵x₃＜x₄，
∴${x}_{3}=lo{g}_{3}（1-\frac{a}{2a+1}），{x}_{4}=lo{g}_{3}（1+\frac{a}{2a+1}）$…（12分），
∴${x_2}-{x_1}+{x_4}-{x_3}={log_3}\frac{{（1+a）（1+\frac{a}{2a+1}）}}{{（1-a）（1-\frac{a}{2a+1}）}}={log_3}\frac{1+3a}{1-a}={log_3}（\frac{4}{1-a}-3）$，
∵$y={log_3}（\frac{4}{1-a}-3）$在$a∈[\frac{1}{3}，1）$上单调递增，…（14分）
所以当$a=\frac{1}{3}$时，x₂-x₁+x₄-x₃的最小值为1．…（16分）

点评 本题考查的知识点是函数零点，指数方程和对数方程的解法，对数的运算性质和对数函数的图象和性质，难度中档．