题目内容

定义一种新运算*,满足n*k=nλk-1(n,k∈N*λ为非零常数).
(1)对于任意给定的k,设an=n*k(n=1,2,3,…),证明:数列{an}是等差数列;
(2)对于任意给定的n,设bk=n*k(k=1,2,3…),证明:数列{bk}是等比数列;
(3)设cn=n*n(n=1,2,3,..),试求数列{cn}的前n项和Sn
(1)证明:∵n*k=nλk-1(n,k∈N*λ为非零常数),
∴an=n*k=nλk-1(n=1,2,3,…),
∴an+1-an=(n+1)λk-1-nλk-1k-1
∵k,λ为非零常数,∴数列{an}是等差数列.
(2)证明:∵n*k=nλk-1(n,k∈N*,λ为非零常数),
∴bk=n*k=nλk-1(k=1,2,3,…),
bk+1
bk
=
nλk
nλk-1
=λ.
∵λ为非零常数,
∴数列{bk}是等比数列.
(3)∵n*k=nλk-1(n,k∈N*,λ为非零常数),
∴n*n=nλn-1
则Sn=c1+c2+…+cn0+2λ+3λ2+…+nλn-1
①当λ=1时,Sn=1+2+3+…+n=
n(n+1)
2

②当λ≠1时,λSn=λ+2λ2+3λ3+…+nλn
①-②得:(1-λ)Sn=1+λ+λ2+…+λn-1-nλn
∴Sn=
1-λn
(1-λ)2
-
nλn
1-λ

综上可知,Sn=
n(n+1)
2
,当λ=1时
1-λn
(1-λ)2
-
nλn
1-λ
,当λ≠1时
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