题目内容
【题目】已知
(1)当时,求函数
的极值;
(2)若有两个零点
求证:
【答案】(1)极小值,无极大值;(2)证明见解析
【解析】
(1)求出,进而求出
的单调区间,即可求解;
(2)求出的单调区间,不妨设
.要证
,即证
,
在
单调递减,即证
,又
,即证
,构造函数
,进而求出
的单调性,即可证明结论;
或利用,将
用
表示,代入
,等价转化为证明
,设
,即证
,通过构造函数,求导方法,即可证明结论.
(1),
,
.
当时
,当
时
.
在
单调递减,在
单调递增,
所以有极小值
,无极大值.
(2).
在
单调递减,在
单调递增.
依题意,,不妨设
.
方法一:设,
,
在
单调递增,
所以,
,
所以,
又,
,
在
单调递减,
所以.即得结论.
方法二:依题意,,
也即,可得
,
要证,即证
,
即证,
即证,
设,则即证
.
构造函数,
,
再设,则
,
在
单调递减,
,即
,
在
单调递增,
,
.
即得结论.
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