题目内容
【题目】设椭圆
的离心率为
，圆
与
轴正半轴交于点
，圆
在点处的切线被椭圆
截得的弦长为
．
（1）求椭圆的方程；
（2）设圆上任意一点
处的切线交椭圆于点
，
，试判断
是否为定值？若为定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由．
【答案】（1）
；（2）是定值，
【解析】
（1）由
，可得
，故设椭圆方程为
，可得点
在椭圆上，即可求出参数的值，从而得到椭圆方程；
（2）当过点
且与圆
相切的切线斜率不存在时，不妨设切线方程为
，
可得
．当过点且与圆相切的切线斜率存在时，可设切线的方程为
，
，
，由圆心到直线的距离等于半径可得
，联立直线与椭圆方程，消去
，列出韦达定理，即可表示出
，代入计算可得
，即可得到，最后由三角形相似计算出
的值即可；
解：（1）由椭圆的离心率为，
，
，
椭圆
的方程可设为，
易求得
，且圆在点
处的切线方程为，点在椭圆上，
，解得
，椭圆的方程为．
（2）当过点且与圆相切的切线斜率不存在时，不妨设切线方程为，
由（1）知，
，
，
，
．
当过点且与圆相切的切线斜率存在时，可设切线的方程为，，，
，即．
联立直线和椭圆的方程得:
，
，
，
．
，
．综上所述，圆上任意一点处的切线交椭圆于点
，
，都有．
在
中，由
得，
为定值．
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【题目】为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对该班40名学生进行了问卷调查，得到了如下的
列联表：
男生 | 女生 | 总计 | |
喜爱打篮球 | 19 | 15 | 34 |
不喜爱打篮球 | 1 | 5 | 6 |
总计 | 20 | 20 | 40 |
（1）在女生不喜爱打篮球的5个个体中，随机抽取2人，求女生甲被选中的概率；
（2）判断能否在犯错误的概率不超过
的条件下认为喜爱篮球与性别有关？
附：
，其中
．
| 0.50 | 0.40 | 0.25 | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | <>0.005 | 0.001 |
| 0.455 | 0.708 | 1.323 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
