题目内容
【题目】甲、乙、丙三名乒乓球手进行单打对抗比赛，每两人比赛一场，共赛三场，每场比赛胜者得3分，负者得0分，在每一场比赛中，甲胜乙的概率为
，丙胜甲的概率为
，乙胜丙的概率为
，且各场比赛结果互不影响.若甲获第一名且乙获第三名的概率为
.
（1）求的值；
（2）设在该次对抗比赛中，丙得分为
，求的分布列、数学期望和方差.
【答案】（1）
（2）详见解析
【解析】
（1）由已知，甲获第一名且乙获第三名的概率为
，即甲胜乙、甲胜丙且丙胜乙概率为，利用相互独立事件的概率计算公式即可得出．
（2）依题意丙得分X可以为0，3，6，丙胜甲的概率为
，丙胜乙的概率为
，利用相互独立事件、互斥事件的概率计算公式即可得出概率、分布列、数学期望和方差．
（1）由已知，甲获第一名且乙获第三名的概率为，
即甲胜乙、甲胜丙且丙胜乙概率为，
∴
，∴.
（2）依题意丙得分
可以为0，3，6，丙胜甲的概率为，丙胜乙的概率为，
，
，
| 0 | 3 | 6 |
|
|
|
|
∴
.
【题目】某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据（单位：
）和使用了节水龙头50天的日用水量数据，得到频数分布表如下：
未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表
日用水量 | [0,0.1) | [0.1,0.2) | [0.2,0.3) | [0.3,0.4) | [0.4,0.5) | [0.5,0.6) | [0.6,0.7) |
频数 | 1 | 3 | 2 | 4 | 9 | 26 | 5 |
使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表
日用 水量 | [0,0.1) | [0.1,0.2) | [0.2,0.3) | [0.3,0.4) | [0.4,0.5) | [0.5,0.6) |
频数 | 1 | 5 | 13 | 10 | 16 | 5 |
（1）作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图；
（2）估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.3的概率；
（3）估计该家庭用节水龙头后，一年能节省多少水.（一年按365天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表）