题目内容
16．已知函数f（x）=sinx+$\sqrt{3}$cosx，则下列命题正确的是①③④．（填上你认为正确的所有命题的序号）①函数f（x）（x∈[0，$\frac{π}{2}$]）的单调递增区间是[0，$\frac{π}{6}$]；
②函数f（x）的图象关于点（-$\frac{π}{6}$，0）对称；
③函数f（x）的图象向左平移m（m＞0）个单位长度后，所得的图象关于y轴对称，则m的最小值是$\frac{π}{6}$；
④若实数m使得方程f（x）=m在[0，2π]上恰好有三个实数解x1，x2，x3，则x1+x2+x3=$\frac{7π}{3}$．
分析 ①$f（x）=sinx+\sqrt{3}cosx=2（\frac{1}{2}sinx+\frac{{\sqrt{3}}}{2}cosx）=2sin（x+\frac{π}{3}）$，利用正弦函数的单调性可得函数f（x）的增区间，即可判断出正误；
②将$x=-\frac{π}{6}$代入f（x），即可判断出正误；
③f（x）=$2sin（x+\frac{π}{3}）$，向左平移个m（m＞0）单位长度后变换为$y=2sin（x+m+\frac{π}{3}）$，由题意得$m+\frac{π}{3}=\frac{π}{2}+kπ（k∈Z）$，即可判断出正误；
④若实数m使得方程f（x）=m在[0，2π]上恰好有三个实数解，结合函数$f（x）=2sin（x+\frac{π}{3}）$及y=m的图象即可得出．
解答 
解：①$f（x）=sinx+\sqrt{3}cosx=2（\frac{1}{2}sinx+\frac{{\sqrt{3}}}{2}cosx）=2sin（x+\frac{π}{3}）$，∴函数的增区间为$[2kπ-\frac{5π}{6}，2kπ+\frac{π}{6}]（k∈Z）$，
又∵$x∈[0，\frac{π}{2}]$，∴增区间为$[0，\frac{π}{6}]$．∴①正确；
②将$x=-\frac{π}{6}$代入f（x）得$f（-\frac{π}{6}）=2sin（-\frac{π}{6}+\frac{π}{3}）=1≠0$，∴②不正确；
③$f（x）=sinx+\sqrt{3}cosx=2sin（x+\frac{π}{3}）$，∴向左平移个m（m＞0）单位长度后变换为$y=2sin（x+m+\frac{π}{3}）$，由题意得$m+\frac{π}{3}=\frac{π}{2}+kπ（k∈Z）$，
∵$m＞0∴m=\frac{π}{6}+kπ（k∈N）$，因此m的最小值是$\frac{π}{6}$，∴③正确；
④若实数m使得方程f（x）=m在[0，2π]上恰好有三个实数解，结合函数$f（x）=2sin（x+\frac{π}{3}）$及y=m的图象可知，必有x=0，x=2π，此时$f（x）=2sin（x+\frac{π}{3}）=\sqrt{3}$，另一解为$x=\frac{π}{3}$，即x1，x2，x3满足 ${x_1}+{x_2}+{x_3}=\frac{7π}{3}$，④正确．
综上知，只有①③④正确．
故答案为：①③④．
点评 本题考查了三角函数的图象与性质、和差公式，考查了数形结合的思想方法、推理能力与计算能力，属于中档题．
举一反三期末百分冲刺卷系列答案
已知函数f（x）=Asin（ωx+ϕ），x∈R（其中A＞0，ω＞0，-$\frac{π}{2}$＜ϕ＜$\frac{π}{2}$），其部分图象如下图所示，将f（x）的图象纵坐标不变，横坐标变成原来的$\frac{1}{2}$倍，再向右平移1个单位得到g（x）的图象，则函数g（x）的解析式为（ ）| A． | g（x）=sin$\frac{π}{8}$（x+1） | B． | g（x）=sin（$\frac{π}{2}$x-$\frac{π}{4}$） | C． | g（x）=sin（$\frac{π}{8}$x+1） | D． | g（x）=sin（$\frac{π}{2}$x+$\frac{π}{4}$） |
| A． | 圆 | B． | 抛物线 | C． | 椭圆 | D． | 双曲线 |
| A． | 1 | B． | 2 | C． | 3 | D． | 4 |