Question

1．已知向量$\overrightarrow a$=（-cos（π-θ），sin（-θ）），$\overrightarrow b$=（[cos（$\frac{π}{4}$-$\frac{θ}{2}$）+sin（$\frac{π}{4}$-$\frac{θ}{2}$）][cos（$\frac{π}{4}$-$\frac{θ}{2}$）-sin（$\frac{π}{4}$-$\frac{θ}{2}$）]，2cos²$\frac{θ}{2}$-1）．
（1）求证：$\overrightarrow a$⊥$\overrightarrow b$
（2）设$\overrightarrow x$=$\overrightarrow a$+（t²+3）$\overrightarrow b$，$\overrightarrow y$=-k$\overrightarrow a$+t$\overrightarrow b$，g（t）=$\frac{{k+λ{t^2}}}{t}$（λ∈[-8，0]），若存在不等于0的实数k和t（t∈[1，2]），满足$\overrightarrow x$⊥$\overrightarrow y$，试求g（t）的最小值h（λ），并求出h（λ）的最小值．

Answer 1

分析 （1）首先化简两个向量的坐标，然后进行数量积的运算；
（2）由$\overrightarrow x⊥\overrightarrow y$可得$\overrightarrow x•\overrightarrow y=0$，进一步利用k，t表示，化简后根据解析式特点，讨论最小值的取得．

解答 解：（1）$\overrightarrow a$=（-cos（π-θ），sin（-θ））=（cosθ，-sinθ）
$\overrightarrow b$=（[cos（$\frac{π}{4}$-$\frac{θ}{2}$）+sin（$\frac{π}{4}$-$\frac{θ}{2}$）][cos（$\frac{π}{4}$-$\frac{θ}{2}$）-sin（$\frac{π}{4}$-$\frac{θ}{2}$）]，2cos²$\frac{θ}{2}$-1）=（sinθ，cosθ）
所以$\overrightarrow a•\overrightarrow b$=sinθcosθ-sinθcosθ=0，
∴$\overrightarrow a⊥\overrightarrow b$；  （3分）
（2）由$\overrightarrow x⊥\overrightarrow y$可得$\overrightarrow x•\overrightarrow y=0$，
即$[{\overrightarrow a+（{{t^2}+3}）\overrightarrow b}]•（{-k\overrightarrow a+t\overrightarrow b}）=0$，
∴$-k{\overrightarrow a^2}+（{{t^3}+3t}）{\overrightarrow b^2}+[{t-k（{{t^2}+3}）}]\overrightarrow a•\overrightarrow b=0$，
∴$-k{|{\overrightarrow a}|^2}+（{{t^3}+3t}）{|{\overrightarrow b}|^2}=0$，
又∵${|{\overrightarrow a}|^2}=1，{|{\overrightarrow b}|^2}=1$，
∴-k+t³+t=0，∴k=t³+3t，（5分）
∴g（t）=$\frac{{k+λ{t^2}}}{t}=\frac{{{t^3}+λ{t^2}+3t}}{t}={t^2}+λt+3={（{t+\frac{λ}{2}}）^2}+3-\frac{λ^2}{4}$，（t∈[1，2]）（7分）
①当$-\frac{λ}{2}＜1$即λ＞-2时，g（t）_min=g（1）=λ+4
②当$1≤-\frac{λ}{2}≤2$即-4≤λ≤-2时，$g{（t）_{min}}=g（{-\frac{λ}{2}}）=3-\frac{λ^2}{4}$
③当$-\frac{λ}{2}＞2$即λ＜-4时，g（t）_min=g（2）=2λ+7
∴$h（λ）=g{（t）_{min}}=\left\{\begin{array}{l}2λ+7，（{-8≤λ＜-4}）\\ 3-\frac{λ^2}{4}，（{-4≤λ≤-2}）\\ λ+4，（{-2＜λ≤0}）\end{array}\right.$（10分）
∴h（λ）_min=-9（12分）

点评 本题考查了利用三角函数的诱导公式以及逆用两角和与差的三角函数公式化简三角函数式、平面向量的数量积公式的运用以及讨论思想的考查；属于中档题．