题目内容
1.已知向量$\overrightarrow a$=(-cos(π-θ),sin(-θ)),$\overrightarrow b$=([cos($\frac{π}{4}$-$\frac{θ}{2}$)+sin($\frac{π}{4}$-$\frac{θ}{2}$)][cos($\frac{π}{4}$-$\frac{θ}{2}$)-sin($\frac{π}{4}$-$\frac{θ}{2}$)],2cos2$\frac{θ}{2}$-1).(1)求证:$\overrightarrow a$⊥$\overrightarrow b$
(2)设$\overrightarrow x$=$\overrightarrow a$+(t2+3)$\overrightarrow b$,$\overrightarrow y$=-k$\overrightarrow a$+t$\overrightarrow b$,g(t)=$\frac{{k+λ{t^2}}}{t}$(λ∈[-8,0]),若存在不等于0的实数k和t(t∈[1,2]),满足$\overrightarrow x$⊥$\overrightarrow y$,试求g(t)的最小值h(λ),并求出h(λ)的最小值.
分析 (1)首先化简两个向量的坐标,然后进行数量积的运算;
(2)由$\overrightarrow x⊥\overrightarrow y$可得$\overrightarrow x•\overrightarrow y=0$,进一步利用k,t表示,化简后根据解析式特点,讨论最小值的取得.
解答 解:(1)$\overrightarrow a$=(-cos(π-θ),sin(-θ))=(cosθ,-sinθ)
$\overrightarrow b$=([cos($\frac{π}{4}$-$\frac{θ}{2}$)+sin($\frac{π}{4}$-$\frac{θ}{2}$)][cos($\frac{π}{4}$-$\frac{θ}{2}$)-sin($\frac{π}{4}$-$\frac{θ}{2}$)],2cos2$\frac{θ}{2}$-1)=(sinθ,cosθ)
所以$\overrightarrow a•\overrightarrow b$=sinθcosθ-sinθcosθ=0,
∴$\overrightarrow a⊥\overrightarrow b$; (3分)
(2)由$\overrightarrow x⊥\overrightarrow y$可得$\overrightarrow x•\overrightarrow y=0$,
即$[{\overrightarrow a+({{t^2}+3})\overrightarrow b}]•({-k\overrightarrow a+t\overrightarrow b})=0$,
∴$-k{\overrightarrow a^2}+({{t^3}+3t}){\overrightarrow b^2}+[{t-k({{t^2}+3})}]\overrightarrow a•\overrightarrow b=0$,
∴$-k{|{\overrightarrow a}|^2}+({{t^3}+3t}){|{\overrightarrow b}|^2}=0$,
又∵${|{\overrightarrow a}|^2}=1,{|{\overrightarrow b}|^2}=1$,
∴-k+t3+t=0,∴k=t3+3t,(5分)
∴g(t)=$\frac{{k+λ{t^2}}}{t}=\frac{{{t^3}+λ{t^2}+3t}}{t}={t^2}+λt+3={({t+\frac{λ}{2}})^2}+3-\frac{λ^2}{4}$,(t∈[1,2])(7分)
①当$-\frac{λ}{2}<1$即λ>-2时,g(t)min=g(1)=λ+4
②当$1≤-\frac{λ}{2}≤2$即-4≤λ≤-2时,$g{(t)_{min}}=g({-\frac{λ}{2}})=3-\frac{λ^2}{4}$
③当$-\frac{λ}{2}>2$即λ<-4时,g(t)min=g(2)=2λ+7
∴$h(λ)=g{(t)_{min}}=\left\{\begin{array}{l}2λ+7,({-8≤λ<-4})\\ 3-\frac{λ^2}{4},({-4≤λ≤-2})\\ λ+4,({-2<λ≤0})\end{array}\right.$(10分)
∴h(λ)min=-9(12分)
点评 本题考查了利用三角函数的诱导公式以及逆用两角和与差的三角函数公式化简三角函数式、平面向量的数量积公式的运用以及讨论思想的考查;属于中档题.
A. | $\frac{3}{4}$ | B. | $\frac{5}{8}$ | C. | $\frac{13}{16}$ | D. | $\frac{3}{16}$ |
A. | -$\frac{1}{2}$ | B. | -$\frac{\sqrt{3}}{2}$ | C. | $\frac{1}{2}$ | D. | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ |
A. | 16 | B. | 16$\sqrt{3}$ | C. | 8 | D. | 8$\sqrt{3}$ |
A. | (-∞,0) | B. | (0,+∞) | C. | (-∞,1) | D. | (1,+∞) |